Изменения
Нет описания правки
|id=th1
|about=О рекурсии
|statement= Пусть <tex>U</tex> {{- --}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]], <tex>h</tex> {{--- }} всюду определенная [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]]. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>
|proof=
Начнем с доказательства леммы.
|id=st1
|statement= Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности <tex>\equiv</tex>. Тогда следущие два утверждения не могут быть выполнены одновременно: <br>
* Пусть <tex>f</tex> {{- --}} вычислимая функция. Тогда существует всюду определенное вычислимое <tex>\equiv</tex>{{---}} продолжение <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>, т.е. такая <tex>g</tex> что <tex>D(g)=N</tex> и <tex>\forall x</tex> такого что <tex>f(x) \ne \perp</tex> выполнено <tex>f(x) \equiv g(x)</tex> .* Найдется такая всюду определенная вычислимая <tex>h</tex> что <tex>\forall n </tex> <tex>h(n) \not\equiv n</tex>.
|proof=
От противного. Пусть оба утверждения выполнены. <br>
Определим функцию <tex>f</tex> так: <tex>f(x)=U(x,x)</tex>. Заметим что никакая всюду вычислимая функция не отличается от <tex>f</tex> всюду. <br> Согласно первому утверждению найдется всюду определенное вычислимое <tex>\equiv</tex>{{---}} продолжение <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>. <br> Определим функцию <tex>t</tex> так: <tex>t(x)=h(g(x))</tex>, где <tex>h</tex> {{--- }} функция из второго утверждения. <br >Если <tex>f(x) \ne \perp</tex>, то <tex>f(x)=g(x) \ne h(g(x))=t(x)</tex>, т.е. <tex>f(x) \ne t(x)</tex>. Если <tex>f(x)= \perp</tex>, то <tex>f(x) \ne t(x)</tex>, т.к. <tex>t</tex> {{--- }} всюду определена. Значит <tex>f</tex> всюду отлична от <tex>t</tex>, противоречие.
}}
Теперь определим отношение <tex>\equiv</tex> так: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex>. Покажем, что для него выполнено первое утверждение леммы. <br> Для заданной <tex>f</tex> определим <tex>V(n,x) = U(f(n), x)</tex>. <br> Так как <tex>U</tex> {{- --}} универсальная функция, то найдется такая всюду определенная вычислимая <tex>s</tex>, что <tex>V(n,x) = U(s(n), x)</tex>. <br> Тогда <tex>\forall x, n </tex> <tex>U(f(n), x) = U(s(n), x)</tex>, значит <tex>\forall n </tex> <tex> s(n) \equiv f(n)</tex>, то есть <tex>s</tex> {{- --}} всюду определенное <tex>\equiv</tex>{{---}} продолжение <tex>f</tex>.Значит, для нашего отношения эквивалентности второе утверждение леммы не верно, то есть для любого вычислимого всюду определенного <tex>h</tex> <tex> \exists n</tex> такое что <tex>U_{h(n)} = U_n</tex> .
}}
Теорему о рекурсии можно переформулировать следущим образом.
|id=th2
|about=О рекурсии
|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{- --}} вычислимая функция.Тогда найдется такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
|proof=
Так как <tex>U</tex> {{- --}} универсальная, то найдется для любой вычислимой всюду определенной <tex>n</tex> найдется такая вычислимая всюду определенная <tex>num</tex>, что <tex>n=U_{num(n)}</tex>. Тогда найдется такая <tex>h</tex> что <tex>\forall n, x</tex> <tex>V(n, x) = U(h(num(n)), x)</tex>. <br >По доказанному найдется такое <tex>n_0</tex> что <tex>U_{n_0} = U_{h(n_0)}</tex>. <br> Возьмем <tex>p=U_{n_0}</tex>. Тогда <tex>V(p, x) = V(U_{n_0}, x) = U(h(num(U_{n_0})), x) = U(h(n_0), x) = U(n_0, x) = p(x)</tex>.
}}
Неформально теорема о рекурсии утверждает то что внутри программы можно использовать ее код. Это упрощает доказательство некоторых теорем.
==Пример использования==
Используя теорему о рекурсии приведем простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p|p(\epsilon)=\perp\}</tex>.
{{Утверждение
|id=st2
|proof=
Предположим обратное, тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая <tex>L</tex>.
Рассмотрим следущую программу :
<code>
p(x)
