Изменения

По определению <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>.Рассмотрим любое множество Покажем, что <tex> \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i \subset R</tex>, где <tex>R</tex> и {{---}} любое надрегулярное множество . Для этого докажем по индукции по <tex>i</tex>, что <tex>R_i \subset R</tex>.# База: <tex>i = 0</tex>.#: <tex> R_0 \subset R </tex>по определению надрегулярного множества.# Переход: известно, что <tex>R_i \subset R</tex> (следует из определения , докажем, что <tex>R_iR_{i+1} \subset R</tex> и определения надрегулярного множества).Это верно для любого #: По определению надрегулярного множества для любых <tex>L_1, L_2 \in R_i \subset R</tex> верны утверждения: <tex>L_1 \cup L_2 \in R, L_1L_2 \in R, L_1^* \in R</tex>. То есть: <tex>\left\{L_1 \cup L_2, L_1L_2, следовательно L_1^* | L_1, L_2 \in R_i\right\} \subset R</tex>. Вспоминая определение <tex>R_{i+1}</tex> и предположение индукции (<tex> R_i \subset R</tex>), получаем, что <tex>R_{i+1} \subset R</tex>.Так как <tex>Reg'\subset R</tex>. Также это выполнено для любого надрегулярного множества <tex> R_i R</tex>, значит получаем, что <tex> \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i \subset Reg' </tex>.