1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
'''Недетерминированный конечный автомат(НКА)''' (НКАангл. ''Nondeterministic finite automaton, NFA'') {{---}} пятерка пятёрка <tex>\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to 2^Q \rangle</tex>, где <tex>\Sigma</tex> {{---}} алфавит, <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний автомата, <tex>s</tex> {{---}} начальное состояние автомата, <tex>T</tex> {{---}} множество допускающих состояний автомата, <tex>\delta</tex> {{---}} функция переходов.Таким образом, единственное отличие НКА от [[Детерминированные_конечные_автоматы | ДКА ]] {{---}} существование нескольких переходов по одному символу из одного состояния.
}}
НКА допускает слово <tex> \alpha </tex>, если существует путь из начального состояния в какое-то терминальное, такое что буквы, выписанные с переходов на этом пути по порядку, образуют слово <tex> \alpha </tex>.
Теперь это опишем более формально.
{{Определение
|definition =
'''Мгновенное описание''' (англ. ''snapshot'') {{---}} пара <tex> \langle p, q \rangle </tex>, <tex> p \in Q </tex>, <tex> q \in \Sigma^*</tex>.
}}
Определим некоторые операции для мгновенных описаний.
{{Определение
|definition =
Говорят, что <tex> \langle p, \beta \rangle</tex> '''выводится за один шаг''' (англ. ''directly yields'') из <tex>\langle q, \alpha \rangle </tex>, если:
* <tex>\alpha = c\beta</tex>;
* <tex>p \in \delta (q, c)</tex>.
Это также записывают так: <tex>\langle q, \alpha \rangle \vdash \langle p, \beta \rangle</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
[[Транзитивное замыкание#Рефлексивно-транзитивное замыкание | Рефлексивно-транзитивное замыкание ]] отношения <tex> \vdash </tex> обозначается как <tex> \vdash^*</tex>. <br>И говорят, что <tex> \langle p, \beta \rangle</tex> '''выводится за ноль и более шагов''' (англ. ''yields'') из <tex>\langle q, \alpha \rangle </tex>, если <tex>\langle q, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \beta \rangle</tex>.<!--Говорят, что <tex> \langle p, \beta \rangle</tex> '''выводится за ноль и более шагов''' (англ. ''yields'') из <tex>\langle q, \alpha \rangle </tex>, если <tex>\exists c_1, c_2 \ldots c_n</tex>:
* <tex>\langle q, c_1 c_2 \ldots c_n \beta\rangle \vdash \langle u_1, c_2 c_3 \ldots c_n \beta\rangle \vdash \langle u_2, c_3 \ldots c_n \beta\rangle \ldots \vdash \langle u_{n-1}, c_n \beta\rangle \vdash \langle p, \beta \rangle</tex>. -->
<!--Это также записывают так: <tex>\langle q, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \beta \rangle</tex>. -->
}}
{{Определение
|definition =
НКА '''допускает''' (англ. ''accepts'') слово <tex>\alpha</tex>, если <tex>\exists t \in T: \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle</tex>.
}}
== Язык автомата ==
|definition =
Множество слов, допускаемых автоматом <tex> \mathcal{A} </tex>, называется '''языком НКА''' <tex> \mathcal{A} </tex>.
* <tex> \mathcal{L}(\mathcal{A}) = \lbrace w \ | \ \exists t \in T : \langle s, w \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle \rbrace </tex>.В этом случае также говорят, что автомат <tex> \mathcal{A} </tex> '''распознаёт''' (англ. ''recognize'') язык <tex> L </tex>.
}}
== Пример ==
[[Файл:NFAFinite state machine 4.png|600px]]
Это НКА, который распознает язык из алфавита <tex> \lbrace 0, 1 \rbrace </tex>, где на четвертой с конца позиции стоит 0.
===Алгоритм===
Определим множество всех достижимых состояний из стартового по слову <tex> \alpha </tex> : <tex> R(\alpha) = \lbrace p \ | \ \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \varepsilon \rangle \rbrace </tex>.
Заметим, что если <tex> \exists t \in T : t \in R(w) </tex>, то слово допускается, так как <tex> \langle s, w \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle </tex> по определению <tex> R(w) </tex>. Таким образом, алгоритм состоит в том, чтобы построить <tex> R(w) </tex>.
Очевидно, что <tex> R(\varepsilon) = \lbrace s \rbrace </tex>. Пусть мы построили <tex> R(\alpha) </tex>, построим <tex> R(\alpha c)</tex>, где <tex> c \in \Sigma </tex>. Заметим, что
<tex> R(\alpha c) = \lbrace q \ | \ q \in \delta(p, c), p \in R(\alpha) \rbrace </tex>, так как
<tex> \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \varepsilon \rangle \Rightarrow \langle s, \alpha c \rangle \vdash^* \langle p, c \rangle \vdash \langle q, \varepsilon \rangle \Rightarrow \langle s, \alpha c \rangle \vdash^* \langle q, \varepsilon \rangle </tex>, <tex> \forall q \in \delta(p, c) </tex>.
Теперь, когда мы научились по <tex> R(\alpha) </tex> строить <tex> R(\alpha c)</tex>, возьмем <tex> R(\varepsilon) </tex> и будем последовательно вычислять <tex>R(w[1]\ldots w[k])</tex> для <tex>k=1..\ldots |w|</tex>.
Таким образом, мы получим <tex>R(w)</tex>, и всё, что осталось — проверить, есть ли в нём терминальное состояние.
===Псевдокод===
'''bool''' accepts(<tex>\langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>: '''Automaton''', <tex>\mathtt{w}</tex>: '''String'''): <tex> R_0 = \lbrace s \rbrace </tex> '''for ''' i = 1 '''to ''' <tex>\mathtt{w}</tex>.length(w) do <tex> R_i = \varnothing </tex> '''for ''' (<tex> p \q </tex> '''in ''' <tex> R_{i - 1} </tex> do) <tex> R_i = R_i \cup \delta(pq, \mathtt{w}[i]) </tex> accepts = False for <tex> t \in T </tex> do if '''return''' <tex> t \in R_{|\mathtt{w}|} \cap T \neq \varnothing </tex> accepts = True
Время работы алгоритма: <tex> \mathop O(|w|\sum\limits_{t \in Q} \sum\limits_{c \in \Sigma} |\delta(t, c)|) </tex>.
* [[Детерминированные конечные автоматы]]
* [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона]]
== Литература Источники информации ==
* ''Ю. Громкович'' Теоретическая информатика. Введение в теорию автоматов, теорию вычислимости, теорию сложности, теорию алгоритмов, рандомизацию, теорию связи и криптографию: Пер. с нем. — СПб.:БХВ-Петербург, 2010. — С. 87. — ISBN 978-5-9775-0406-5
* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Second edition. P. 71. ISBN 0-201-02988-X
* [[wikipedia:en:Nondeterministic finite automaton | Wikipedia {{---}} Nondeterministic finite automaton]]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
