== Основные определения ==
{{Определение
|definition = (1) Функция <tex>f : N \rightarrow N \cup \lbrace \bot \rbrace</tex> называется '''вычислимой''', если существует программа, вычисляющая функцию <tex>f</tex>. То есть существует , такая программа, что:# * если <tex>f(n)</tex> определено для натурального числа <tex>n</tex>, то программа завершает свою работу на входе <tex>n</tex> и выводит <tex>f(n)</tex>;# * если <tex>f(n)</tex> не определено, то программа зависает на входе <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition = (2) Функция <tex>f : N \rightarrow N \cup \lbrace \bot \rbrace</tex> называется '''вычислимой''', если её график <tex>F = \lbrace \langle x, y\rangle | f(x)</tex> определено и равно <tex>y \rbrace</tex> является [[Перечислимые_языки|перечислимым]] множеством пар натуральных чисел.
}}
{{Теорема
|statement = Определения (1) и (2) Приведенные определения эквивалентны.|proof = <tex>1 \Rightarrow 2</tex><br/>.
Напишем полуразрешающую программу для множества <tex>F</tex>.
<tex>p(\langle x, y\rangle):</tex>
'''for''' <tex>a \in D(f)</tex>
'''if''' <tex>a == x \land f(a) == y</tex>
'''return''' 1
Так как [[#D(f)|область определения вычислимой функции перечислима]], то можно перебрать элементы области определения. Если алгоритм нашел нужную нам пару, то вернуть 1.<br/>
<tex>2 \Rightarrow 1</tex><br/>
Напишем программу, вычисляющую функцию <tex>f</tex>.
<tex>f(n)</tex>
'''for''' <tex>\langle x, y \rangle \in F</tex>
'''if''' <tex>x == n</tex>
'''return''' <tex>y</tex>
Так как <tex>F</tex> перечислимое множество, то можно перебрать элементы этого множества.
}}
=== Замечание ===
Входами и выходами программ могут быть не только натуральные числа, но и двоичные строки, пары натуральных чисел, конечные последовательности слов и т.п. Поэтому аналогичным образом можно определить понятие вычислимой функции для счётных множеств.
=== Примеры вычислимых функций ===
* Нигде не определённая функция вычислима.
<tex>p(x)</tex>
'''return''' <tex>\bot</tex>
* <tex>f(x) = x^2</tex>, где <tex>x</tex> — рациональное число.
<tex>p(x)</tex>
'''return''' <tex>x^2</tex>
== Свойства вычислимой функции ==
{{Утверждение
|id = D(f)
|statement = <tex>f</tex> — вычислимая функция. Тогда <tex>D(f)</tex> — перечислимое множество, где <tex>D(f)</tex> — область определения функции <tex>f</tex>.
|proof =
Для доказательства достаточно написать полуразрешающую программу.
<tex>p(x)</tex>
<tex>f(x)</tex>
'''return''' 1
Если функция <tex>f</tex> определена на входе <tex>x</tex>, то <tex>x \in D(f)</tex>. Тогда необходимо вернуть 1. Иначе программа зависнет при вызове <tex>f(x)</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement = <tex>f</tex> — вычислимая функция. Тогда <tex>E(f)</tex> — перечислимое множество, где <tex>E(f)</tex> — область значений функции <tex>f</tex>;
|proof =
Для доказательства достаточно написать полуразрешающую программу.
<tex>p(x)</tex>
'''for''' <tex>y \in D(f)</tex>
'''if''' <tex>x == f(y)</tex>
'''return''' 1
Так как <tex>D(f)</tex> перечислимо, то можно перебрать элементы этого множества. Если программа находит слово, то она возвращает 1.
}}
{{Утверждение
|statement = <tex>f</tex> — вычислимая функция, <tex>X</tex> — перечислимое множество. Тогда <tex>f(X)</tex> — перечислимое множество.
|proof =
Для доказательства достаточно написать полуразрешающую программу.
<tex>p(x)</tex>
'''for''' <tex>y \in D(f) \cap X</tex>
'''if''' <tex>x == f(y)</tex>
'''return''' 1
Из [[Замкнутость_разрешимых_и_перечислимых_языков_относительно_теоретико-множественных_и_алгебраических_операций|замкнутости перечислимых языков относительно операции пересечения]] следует, что элементы множества <tex>X \cap D(f)</tex> можно перебрать. Если программа находит слово, то она возвращает 1.
}}
{{Утверждение
|statement = <tex>f</tex> — вычислимая функция, <tex>X</tex> — перечислимое множество. Тогда <tex>f^{-1}(X)</tex> — перечислимое множество.
|proof =
Для доказательства достаточно написать полуразрешающую программу.
<tex>p(x)</tex>
'''if''' <tex>f(x) \in X</tex>
'''return''' 1
На проверке условия <tex>f(x) \in X</tex> программа может зависнут, если <tex>f(x)</tex> не определено или <tex>f(x) \notin X</tex>. Если <tex>f(x)</tex> не определено, то <tex>x \notin f^{-1}(X)</tex>. Условие <tex>f(x) \notin X</tex> можно проверить, так как <tex>X</tex> перечислимо.
}}
== Теорема об униформизации ==
{{Теорема
|statement = Пусть <tex>F</tex> — перечислимое множество пар натуральных чисел. Тогда существует вычислимая функция <tex>f</tex>, определенная на тех и только тех <tex>x</tex>, для которых найдется <tex>y</tex>, при котором <tex>\langle x, y \rangle \in F</tex>, причем значение <tex>f(x)</tex> является одним из таких <tex>y</tex>.
|proof =
Напишем программу, вычисляющую функцию <tex>f</tex>.
<tex>f(x)</tex>
'''for''' <tex>\langle a, b \rangle \in F</tex>
'''if''' <tex>x == a</tex>
'''return''' <tex>b</tex>
Так как множество <tex>F</tex> перечислимо, то его элементы можно перебрать.
}}
== Теорема о псевдообратной функции ==
{{Теорема
|statement = Для любой вычислимой функции <tex>f</tex> существует вычислимая функция <tex>g</tex>, являющаяся псевдообратной в следующем смысле: <tex>E(f) = D(g)</tex>, и при этом <tex>f(g(f(x))) = f(x)</tex> для всех <tex>x</tex>, при которых <tex>f(x)</tex> определена.
|proof =
Напишем программу, вычисляющую функцию <tex>g</tex>.
<tex>g(n)</tex>
'''for''' <tex>x \in D(f)</tex>
'''if''' <tex>f(x) == n</tex>
'''return''' <tex>x</tex>
Так как область определения вычислимой функции перечислима, то можно перебрать элементы области определения.
}}
== Литература ==
* ''Верещагин Н. К., Шень А.'' '''Лекции по математической логике и теории алгоритов. Часть 3. Вычислимые функции''' — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176
