Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>L</tex> — [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободный язык]] над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, тогда существует такое <tex>n</tex>, что для любого слова <tex> \omega \in L</tex> длины не меньше <tex>n</tex> найдутся слова <tex> u,v,x,y,z \in \Sigma^*</tex>, для которых верно: <tex>uvxyz=\omega, vy\neq \varepsilon, |vxy|\leqslant n</tex> и <tex>\forall k \geqslant 0~uv^{k}xy^{k}z\in L</tex>.
|proof=
[[Файл:CS_lemma_conspect.PNG||left|240px|]] Пусть <tex>L</tex> — Грамматика любого контекстно-свободный язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Тогда его грамматика свободного языка может быть записана в [[Нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского (НФХ)]]. Пусть <tex>m</tex> — количество нетерминалов в полученной грамматике.языка <tex>L<br/tex> , записанной в НФХ.Выберем <tex>n=2^{m+1}</tex>. Построим дерево разбора произвольного слова <tex>\omega</tex> длиной больше, чем <tex>n</tex>. Так как из одного нетерминала выводится либо два нетерминала, либо терминальный символ, то дерево разбора <tex>\omega</tex> будет бинарным, причем его высота не меньше <tex>m+1</tex>. Рассмотрим самый длинный путь от вершины, соответствующей стартовому нетерминалу,до листа. В нем будет не менее <tex>m+1</tex> узлов, соответствующих нетерминалам. Следовательно, по принципу Дирихле найдется такой нетерминал <tex>A</tex>, который раскрывается в дереве разбора на этом пути дважды. Если таких путей и, следовательно, нетерминалов несколько, то выберем нетерминал максимальной глубины, у которого в поддереве содержится такой же нетерминал. Тогда в качестве <tex>x</tex> выберем кратчайшую строку из терминалов, которая выводится из <tex>A</tex>. Далее рассмотрим путь от предпоследнего повторения нетерминала <tex> A</tex> до последнего его вхождения в дерево. Если из вершины был сделан переход в левое поддерево, то строка, выведенная из правого поддерева, будет частью <tex>y</tex>. Аналогично из левых поддеревьев получаем <tex>v</tex>. Так как грамматика записана в НФХ, то либо <tex>v</tex>, либо <tex>y</tex> не будет пустой строкой, то есть условие <tex>|vy|>0</tex> выполнено.<br/> Таким образом, <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} uvvAyyz \Rightarrow^{*} uv^{k}Ay^{k}z \Rightarrow^{*} uv^{k}xy^{k}z</tex>.
}}
