Изменения
Нет описания правки
Цепные дроби позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число <mathtex>\alpha</mathtex> разложить в цепную дробь, то точность n-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству:
<tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i \cdot Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</tex>.
|id=lm1
|statement=
Любую конечную цепную дробь <mathtex><a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n></mathtex> с чётным(нечётным) числом подходящих дробей можно представить в виде эквивалентной конечной цепной дроби с нечётным(чётным) числом подходящих дробей.
|proof=
Если <mathtex>a_n \geqslant 2</mathtex> : <mathtex><a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n> = <a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n-1,1></mathtex>. Если <mathtex>a_n = 1</mathtex> : <mathtex><a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{n-1}, 1> = <a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{n-1} + 1></mathtex>.
}}
|id=lm2
|statement=
Если <mathtex>x = \frac{P\zeta+R}{Q\zeta+S}</mathtex>, где <mathtex>\zeta > 1, P, Q, R, S</mathtex> удовлетворяют <mathtex>Q>S>0</mathtex> и <mathtex>PS-QR= +- 1</mathtex>, то <mathtex>\frac{R}{S}, \frac{P}{Q} </mathtex> - n-1-ая и n-ая подходящие дроби для <mathtex>x</mathtex>.
|proof=
Разложим <tex>\frac{P}{Q}</tex> в цепную дробь<tex><a_0, a_1, a_2, \dots, a_n> = \frac{P_n}{Q_n}</tex>.
==Теорема 3==
Если некоторая дробь <mathtex>\frac{P}{Q}</mathtex> удовлетворяет условию <mathtex>~|\alpha - \frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</mathtex>, то она - подходящая дробь для <mathtex> \alpha </mathtex>.
===Доказательство===
[[Категория:Теория чисел]]
