Изменения
Нет описания правки
*Рассмотрим нетерминал <tex>A</tex>, содержащийся в поддереве выбранного нетерминала. Тогда <tex>x</tex> - строка терминалов, которая выведена из рассмотренного нетерминала в данном дереве разбора. Тогда <tex>A \Rightarrow^{*} x</tex>.
*Рассмотрим выбранный ранее нетерминал <tex>A</tex>. Пусть <tex>t</tex> - строка терминальных символов, которая выведена из рассмотренного нетерминала в данном дереве разбора. Тогда, так как выбранный нетерминал <tex>A</tex> содержит в своем поддереве такой же нетерминал, то <tex>A \Rightarrow^{*}\alpha A \beta \Rightarrow^{*} t</tex>, где <tex>\alpha,\beta</tex> - строки, которые могут содержать как терминалы, так и нетерминалы. При этом, как минимум одна из строк <tex>\alpha,\beta</tex> не пуста, так как грамматика языка записана в НФХ. Пусть <tex>v</tex> и <tex>y</tex> - строки, состоящие из терминалов, которые выведены соответственно из <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>, в данном дереве разбора. Тогда <tex>t = vxy</tex>. Так как хотя бы одна из строк <tex>\alpha,\beta</tex> не пуста, то <tex>vy\neq \varepsilon</tex>. Получаем <tex>A \Rightarrow^{*} vAy \Rightarrow^{*} vxy</tex>.
*Рассмотрим стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Из <tex>S</tex> выведена строка <tex>\omega</tex>. При этом <tex>S \Rightarrow^{*} \alpha A \beta \Rightarrow^{*} \omega </tex>, где <tex>A</tex> - выбранный ранее нетерминал. Из <tex>A</tex> в данном дереве разбора выведена строка <tex>vxy</tex>. Пусть <tex>u,</tex> и <tex>z</tex> - строки, состоящие из терминалов, которые выведены соответственно из <tex>\alpha,</tex> и <tex>\beta</tex> соответственно, в данном дереве разбора. Тогда <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} \omega</tex>.
Таким образом, в рамках нашей грамматики мы можем построить цепочку вывода: <tex>S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} uvvAyyz \Rightarrow^{*} uv^{k}Ay^{k}z \Rightarrow^{*} uv^{k}xy^{k}z</tex>.
}}
'''Замечание.''' Условие леммы не является достаточным для контекстно-свободности языка. Но , в силу необходимостиусловия, данная лемма часто используется для доказательства неконтекстно-свободности языков.
== Пример доказательства неконтекстно-свободности языка с использованием леммы ==
Рассмотрим язык <tex>0^{n}1^{n}2^{n}</tex>. Покажем, что он не является контекстно-свободным. Для фиксированного <tex>n</tex> рассмотрим слово <tex>\omega=0^n 1^n 2^n</tex>. Пусть <tex>\omega</tex> разбили на <tex>u, v, x, y, z</tex> произвольным образом. Так как <tex>|vxy|\leqslant n</tex>, то в слове не содержится либо ни одного символа <tex>0</tex>, либо ни одного символа <tex>2</tex>. Для любого такого разбиения выберем выбираем <tex>k=2</tex> и получаем, что количество символов <tex>1 </tex> изменилось, а количество либо <tex>0</tex>, либо <tex>2</tex> осталось тем же. Очевидно, что такое слово не принадлежит рассмотренному языку. Значит, язык <tex>0^{n}1^{n}2^{n}</tex> не является контекстно-свободным.
==Источники==
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
