Изменения
Новая страница: «Для удобства вводим обозначения: <tex>A_n(f,x)=A_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}</tex>,где <tex>a_n</tex>,<tex>b_n</tex> {{---}} ко...»
Для удобства вводим обозначения:
<tex>A_n(f,x)=A_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}</tex>,где <tex>a_n</tex>,<tex>b_n</tex> {{---}} коэффициенты Фурье,
<tex>S_n(f,x)=S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}A_k(x)</tex> {{---}} частичные суммы ряда Фурье,
<tex>\sigma(f,x)=\sigma(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}A_k(x)</tex> {{---}} ряд Фурье.
Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:
<tex>S_n(x)=</tex><tex>\frac{1}{2\pi}\int\limits_{Q}f(t)dt+\sum\limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\cos{kt}dt\cos{kx}dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\sin{kt}dt\sin{kx}dx)</tex>
По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\cos{kt}\cos{kx}+\sin{kt}\sin{kx})dt)=</tex>
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}cos{k(x-t)})dt</tex>
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
Подставляя эту функцию в только что полученную формулу, приходим
{{Определение
|definition = <tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex>, что принято называть '''интегралом Дирихле'''
}}
Из формулы для ядра видно, что ядро {{---}} четная функция, более того, если ядро заинтегрировать по всему участку, то такой интеграл равен <tex>1</tex>.
Воспользуемся свойством, что если <tex>f</tex> {{---}} <tex>2\pi</tex>-периодична, то <tex>\int\limits_{Q}f=\int\limits_{a}^{a+2\pi}f</tex>. Проделав замену переменных <tex>u=t-x</tex> в интеграле Дирихле, приходим к формуле:
{{Определение
|definition = <tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи это называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>
}}
Чтобы применять этот интеграл, найдем замкнутое выражение для ядра.
{{Утверждение
|statement= <tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
|proof= По определению ядра: <tex>D_n(f) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex>. Домножим это выражение на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>.
<tex>\sin{\frac{t}{2}}D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n}(
cos{kt} - \sin{\frac{t}{2}}))=</tex>
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}(\sin{(k+\frac{1}{2})t}-\sin{(k-\frac{1}{2})t}))=</tex>
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}(\sin{(n+\frac{1}{2})t}-\sin{\frac{t}{2}}))=</tex> <tex>\frac{1}{2\pi}\sin{(n+\frac{1}{2})t}</tex>
Разделив обе части на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>, получим требуемую формулу.
}}
Используя эту формулу, можно записать: <tex dpi="140">S_n(f,x)=\int\limits_{-\pi}^{pi}f(x+t)\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=</tex>
Пользуясь четностью ядра и линейностью интеграла
<tex>=\int\limits_{-\pi}^{0}+\int\limits_{0}^{pi}=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)dt</tex>
Взяв <tex>S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>1=2\int\limits_{0}^{\pi}D_n(t)dt</tex>, тогда <tex>S=\int\limits_{0}^{\pi}2SD_n(t)dt</tex>.
Приходим к формуле:
<tex>S_n(f,x)-S=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)D_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для изучения сходимости ряда Фурье в индивидуальной точке <tex>S</tex>.
<tex>A_n(f,x)=A_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}</tex>,где <tex>a_n</tex>,<tex>b_n</tex> {{---}} коэффициенты Фурье,
<tex>S_n(f,x)=S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}A_k(x)</tex> {{---}} частичные суммы ряда Фурье,
<tex>\sigma(f,x)=\sigma(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}A_k(x)</tex> {{---}} ряд Фурье.
Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:
<tex>S_n(x)=</tex><tex>\frac{1}{2\pi}\int\limits_{Q}f(t)dt+\sum\limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\cos{kt}dt\cos{kx}dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\sin{kt}dt\sin{kx}dx)</tex>
По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\cos{kt}\cos{kx}+\sin{kt}\sin{kx})dt)=</tex>
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}cos{k(x-t)})dt</tex>
{{Определение
|definition = <tex>D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex> {{---}} тригонометрический полином такого вида называется '''ядром Дирихле'''.
}}
Подставляя эту функцию в только что полученную формулу, приходим
{{Определение
|definition = <tex>S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt</tex>, что принято называть '''интегралом Дирихле'''
}}
Из формулы для ядра видно, что ядро {{---}} четная функция, более того, если ядро заинтегрировать по всему участку, то такой интеграл равен <tex>1</tex>.
Воспользуемся свойством, что если <tex>f</tex> {{---}} <tex>2\pi</tex>-периодична, то <tex>\int\limits_{Q}f=\int\limits_{a}^{a+2\pi}f</tex>. Проделав замену переменных <tex>u=t-x</tex> в интеграле Дирихле, приходим к формуле:
{{Определение
|definition = <tex>S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt</tex>. В такой форме записи это называется '''интегралом свертки''' <tex>f</tex> c ядром <tex>D_n(t)</tex>
}}
Чтобы применять этот интеграл, найдем замкнутое выражение для ядра.
{{Утверждение
|statement= <tex dpi="140">D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}</tex>
|proof= По определению ядра: <tex>D_n(f) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})</tex>. Домножим это выражение на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>.
<tex>\sin{\frac{t}{2}}D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n}(
cos{kt} - \sin{\frac{t}{2}}))=</tex>
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}(\sin{(k+\frac{1}{2})t}-\sin{(k-\frac{1}{2})t}))=</tex>
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}(\sin{(n+\frac{1}{2})t}-\sin{\frac{t}{2}}))=</tex> <tex>\frac{1}{2\pi}\sin{(n+\frac{1}{2})t}</tex>
Разделив обе части на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>, получим требуемую формулу.
}}
Используя эту формулу, можно записать: <tex dpi="140">S_n(f,x)=\int\limits_{-\pi}^{pi}f(x+t)\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=</tex>
Пользуясь четностью ядра и линейностью интеграла
<tex>=\int\limits_{-\pi}^{0}+\int\limits_{0}^{pi}=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)dt</tex>
Взяв <tex>S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>1=2\int\limits_{0}^{\pi}D_n(t)dt</tex>, тогда <tex>S=\int\limits_{0}^{\pi}2SD_n(t)dt</tex>.
Приходим к формуле:
<tex>S_n(f,x)-S=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)D_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для изучения сходимости ряда Фурье в индивидуальной точке <tex>S</tex>.
