== Алгоритм ==
Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v) , \Delta = 2^{\lfloor\log_2U\rfloor} </tex>. Обозначим количество вершин за <tex> n </tex>, а количество ребер за <tex> m </tex>.
Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным.
Если записать пропускную способность любого ребра На каждой итерации найдем увеличивающие пути в двоичном видедополняющей сети с пропускной способностью, то длина полученной битовой последовательности не будет превышать меньшей <tex> \lfloor \log_2 U \rfloor + 1 = n + 1 Delta </tex> бит, а значение пропускной способности определяется формулой:<tex> c(u, v) = \sum\limits_{i = 0}^n a_i(u, v) \times 2^i, a_i(u, v) \in \{0, 1\} </tex>. Методом [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Форда-Фалкерсона]] находим и увеличим поток <tex> f_0 </tex> для сети <tex> G_0 </tex> с урезанными пропускными способностями <tex> c_0(u, v) = a_n(u, v) </tex>.Добавим следующий бит и находим следующее приближение для графа <tex> G_1 </tex> с новыми пропускными способностями <tex> c_1(u, v) = 2 a_n(u, v) + a_{n - 1}(u, v) - 2 f_0(u, v) </tex>. После <tex> n + 1 </tex> итерации получим ответ к задаче, так как <tex> c_{n}(u, v) = c(u, v) </tex>вдоль них.
== Оценка времени работы ==
{{Утверждение
|statement=
Время работы алгоритма — {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
|proof=
Докажем, что время работы каждой итерации — Пусть <tex> O(ES = {2^log_2U, \ldots, 2^k, \ldots, 2) , 1, 0} </tex>{{---}} множество уровней.
{{Лемма
|about=
1
|statement=
Время работы первой итерации алгоритма — Максимальный поток в сети <tex> O(EG </tex> ограничен сверху значением <tex> |f_k| + 2^2) k m </tex>, где <tex> |f_k| </tex>.- значение потока
|proof=
На первом шаге ребра имеют пропускную способность <tex> 1 </tex>. Значит, <tex> |f_0| \leq V </tex>. Поиск каждого дополнительного пути требует <tex> O(E) </tex> времени, а их количество не больше <tex> V </tex>. Итоговое время работы первой итерации — <tex> O(VE) \leq O(E^2) </tex>.
}}
{{Лемма
|about=
2
|statement=
Время работы второй итерации алгоритма — Количество увеличивающих путей на <tex> O(E^2) k </tex>-ом уровне не превосходит <tex> 2m </tex>.
|proof=
[[Файл:ScalingСледует из предыдущей леммы.jpg|250px|thumb|right|Разрез Каждый увеличивающий путь на <tex> \langle A, \overline{A} \rangle k </tex>.]]Пусть вершина -ом уровне имеет пропускную способность не меньше <tex> s 2^k </tex> — [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|источник]] графа, вершина <tex> t </tex> — [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сток]].[[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|Дополняющая сеть]] <tex> G_{0_{f_0}} </tex> — [[Отношение_связности,_компоненты_связности#.D0.A1.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9_.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D0.B0|несвязна]]. Обозначим за <tex> A </tex> компоненту связности графа, содержащую вершину <tex> s </tex>. Тогда <tex> t \notin A </tex>. Источник и сток лежат в разных компонентах связности, значит <tex> c_{0_{f_0}}(A, \overline{A}) = c_0(A, \overline{A}) - f_0(A, \overline{A}) = 0 </tex>.
Следовательно, в сети <tex> G_1 </tex> с пропускными способностями <tex> c_1 </tex>:<tex> \forall u \in A, v \in \overline{A} \colon c_1(u, v) \leq 1 </tex>.{Лемма|about=Рассмотрим максимальный поток <tex> f'_1 </tex> в сети <tex> G_1 </tex>.3<tex> \langle A, \overline{A} \rangle </tex> — [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]], значит:<tex> |f'_1| = f'_1(A, \overline{A}) \leq c(A, \overline{A}) \leq E, f_1 statement= f_0 + f'_1 </tex>.Пропускная способность каждого дополняющего пути Количество увеличивающих путей не меньше <tex> 1 </tex>, а поиск каждого занимает превышает <tex> O(Em logU) </tex> времени. Значит|proof=Следует из предыдущей леммы и факта, итоговое время работы — что количество уровней {{---}} <tex> O(E^2) log_2U </tex>.
}}
Оценка времени работы остальных итераций доказывается аналогично второму случаю. Количество итераций — <tex> O(\log U) </tex>. Значит, общее время работы алгоритма — <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
}}
