20
правок
Изменения
Нет описания правки
Получаем <tex>(-1)^{\frac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\frac{p_s^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}</tex>
}}
===Обобщение квадратичного закона взаимности===
Квадратичный закон взаимности для символа Лежандра обобщается на символ Якоби следующим уравнением:
{{Теорема
|id=th2
|about=Обобщенный квадратичный закон взаимности
|statement=для любых нечетных <tex>n</tex> и <tex>m</tex> справедливо:
<tex>\left(\cfrac{m}{n}\right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}\frac{n-1}{2}}\left(\cfrac{n}{m}\right)</tex>.
|proof=
Разложим <tex>n</tex> и <tex>m</tex> на простые числа
<tex>n=p_1\times\cdots\times p_s\\m=q_1\times\cdots\times q_r</tex>
Получаем
<tex>\left(\cfrac{m}{n}\right)=\prod^s_{i=1}\left(\cfrac{m}{p_i}\right)=\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{q_j}{p_i}\right)=\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}(-1)^{\frac{p_i-1}{2}\frac{q_j-1}{2}}\left(\cfrac{p_i}{q_j}\right)=(-1)^{\sum^s_{i=1}\sum^r_{j=1}\frac{p_i-1}{2}\frac{q_j-1}{2}}\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{p_i}{q_j}\right)=(-1)^{\sum^s_{i=1}\left(\frac{p_i-1}{2}\sum^r_{j=1}\frac{q_j-1}{2}\right)}\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{p_i}{q_j}\right)=(-1)^{\sum^s_{i=1}\left(\frac{p_i-1}{2}\frac{m-1}{2}\right)}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{n}{q_j}\right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}\frac{n-1}{2}}\left(\cfrac{n}{m}\right)</tex>
}}
[[Категория: Теория чисел]]
