221
правка
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
<tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\cdots \rangle = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;</tex><br />
где <tex>a_0</tex> есть целое число и все остальные <tex>a_n</tex> натуральные числа.
Различают '''конечные и бесконечные ''' цепные дроби. Любая конечная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\frac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.
}}
== Свойства цепных дробей =={{Теорема Main|Свойства цепных дробей}}Цепную дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle</tex> можно записать в виде частного двух полиномов|statement<tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]}</tex>, где <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]</tex> {{---}} некоторый полином от <tex>n+1</tex> переменной. Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам:* <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> {{---}} полином от <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> мономов.* <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.* <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] =[a_0, a_1,\cdots, a_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_{n-2}]</tex>.* <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex>|proofДля числителей и знаменателей <tex>n</tex>-ой подходящей дроби верны следующие формулы:* <tex>P_n =P_{n-1}a_n + P_{n-2}</tex>* <tex>Q_n = Q_{n-1}a_n + Q_{n-2}</tex>* <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}</tex>
[[Категория: Теория чисел]]