221
правка
Изменения
м
Нет описания правки
В этом разделе мы будет рассматривать элементы мультипликативной группы поля <math>\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}</math>, то есть вычетов по модулю <math>p</math>, причем <math>p \in \mathbb{P}</math>.
Прежде чем доказывать теорему, докажем две леммы.
{{ТеоремаЛемма
|id=l1
|about=Лемма 1
|statement=
<math>ord(a*b)=LCM(ord(a), ord(b))</math>, где <tex>ord(a)</tex> {{- --}} [[порядок числа]] по модулю p, а <tex>LCM</tex> {{--- }} наименьшее общее кратное двух чисел (least common multiple).
|proof=
Рассмотрим <math>(ab)^k \equiv 1(p)</math>. Так как группа абелева {{- --}} можем записать <math>a^{k}*b^{k} \equiv 1(p)</math>. Очевидно <math>a^{k*ord(a)}*b^{k*ord(a)}\equiv 1(p)</math>, однако из определения порядка числа следует <math>a^{ord(a)}\equiv 1(p)</math>, а значит <math>a^{k*ord(a)}\equiv 1(p)</math>. Отсюда делаем вывод, что <math>b^{k*ord(a)}\equiv 1(p)</math>. Значит <math>k*ord(a)\vdots ord(b)</math>. Аналогичным образом доказывается <math>k*ord(b)\vdots ord(a)</math>. Из этих двух фактов, а так же из определения порядка числа, очевидно следует требуемое.
}}
{{ТеоремаЛемма
|id=l2
|about= Лемма 2
