Изменения

[[Файл:RBT.jpg‎|350px|thumb|Пример красно-чёрного дерева.]]'''Красно - чёрное дерево''' (англ. ''red-black tree'') {{- самобалансирующееся --}} двоичное дерево поиска, в котором баланс осуществляется на основе "цвета" узла дерева, который принимает только два значения: "красный" (англ. ''red'') и "чёрный"(англ.''black'').[[Файл:RBT.jpg‎|350px|thumb|Пример красно-чёрного дерева.]]

===Оригинальные===Красно-чёрным называется бинарное поисковое дерево, у которого каждому узлу сопоставлена сопоставлен дополнительный аттрибут – атрибут {{---}} цвет и для которого выполняются следующие свойства:

# Корень и конечные узлы (листья) дерева – {{---}} чёрные# У красного узла родительский узел – {{---}} чёрный# Все простые пути из любого узла x до листьев содержат одинаковое количество чёрных узлов – black-height(x)

|statement=Красно-чёрное дерево с <tex>nN</tex> ключами имеет высоту <tex>h \leqslant 2\log(N+1) = O(\log N)</tex>.||proof=Рассмотрим красно-чёрное дерево с высотой <tex>h</tex>. Так как у красной вершины чёрные дети (по свойству $3$) количество красных вершин не больше $\dfrac{h}{2}$.Тогда чёрных вершин не меньше, чем <tex>\dfrac{h}{2} - 1</tex>.

В красно-черном дереве с черной высотой <tex>hb</tex> количество По доказанной лемме, для количества внутренних вершин не менее <tex>2^{hb+1}-1</tex>. Если рассмотреть лист (фиктивную вершину), то для нее лемма верна. Рассмотрим внутреннюю вершину <tex>x</tex>. Пусть <tex>hb(x)=h'</tex>. Тогда если ее потомок <tex>p</tex> - черный, то высота <tex>hb(p)=h'-1</tex>, а если – красный, то <tex>hb(p)=h'</tex>. Таким образом, по предположению индукции, в поддеревьях содержится не менее <tex>2^{h'}-1</tex> вершин, а во всём дереве, соответственно, не менее <tex>2^{h'}-1 + 2^{h'}-1 + 1=2^{h'+1}-1N</tex>.Если обычная высота дерева равна <tex>h</tex>, то черная высота дерева будет не меньше <tex>h/2-1</tex> и, по лемме, количество внутренних вершин в деревевыполняется неравенство:

<tex>\log(N+1) \geqslant \dfrac{h/}{2}</tex>

Каждый элемент вставляется вместо листа, поэтому для выбора места вставки идём от корня до тех пор, пока указатель на следующего сына не станет <tex>nil</tex> (т.е. то есть этот сын {{- --}} лист). Вставляем вместо него новый элемент с nil-нулевыми потомками и красным цветом. Теперь проверяем балансировку. Если отец нового элемента черный, то никакое из свойств дерева не нарушено. Если же он красный, то нарушается свойство <tex>3</tex>, для исправления достаточно рассмотреть только два случая:# "Дядя" этого узла тоже красный. Тогда, чтобы сохранить свойства <tex>3</tex> и <tex>4</tex>, просто перекрашиваем "отца" и "дядю" в чёрный цвет, а "деда" {{---}} в красный. В таком случае черная высота в этом поддереве одинакова для всех листьев и у всех красных вершин "отцы" черные. Проверяем, не нарушена ли балансировка. Если в результате этих перекрашиваний мы дойдём до корня, то в нём в любом случае ставим чёрный цвет, чтобы дерево удовлетворяло свойству <tex>2</tex>. [[Файл:Untitled-1.png|200px]]# "Дядя" чёрный. Если выполнить только перекрашивание, то может нарушиться постоянство чёрной высоты дерева по всем ветвям. Поэтому выполняем поворот. Если добавляемый узел был правым потомком, то необходимо сначала выполнить левое вращение, которое сделает его левым потомком. Таким образом, свойство <tex>3</tex> и постоянство черной высоты сохраняются.

1. "Дядя" этого узла тоже красный. Тогда просто перекрашиваем "отца" и "дядю" в чёрный цвет, а "деда" [[Файл:Untitled- в красный. Проверяем, не нарушает ли он теперь балансировку. Если в результате этих перекрашиваний мы дойдём до корня, то в нём в любом случае ставим чёрный цвет2. png|250px|]]

[[Файл'''Псевдокод:D_1''' '''func''' insert(key) Node t = Node(key, red, ''nil'', ''nil'') <font color=green>// конструктор, в который передаем ключ, цвет, левого и правого ребенка </font> '''if''' дерево пустое root = t t.png|200px|]]parent = ''nil'' '''else''' Node p = root Node q = ''nil'' '''while''' p != ''nil'' <font color=green>// спускаемся вниз, пока не дойдем до подходящего листа </font> q = p '''if''' p.key < t.key p = p.right '''else''' p = p.left t.parent = q <font color=green>// добавляем новый элемент красного цвета </font> '''if''' q.key < t.key q.right = t '''else''' q.left = t fixInsertion(t) <font color=green>// проверяем, не нарушены ли свойства красно-черного дерева </font>

2. '''func''' fixInsertion(t: '''Node''') '''if''' t {{---}} корень t = black '''return''' <font color=green>// далее все предки упоминаются относительно t </font> '''while''' "отец" красный <font color=green>// нарушается свойство <tex>3</tex> </font> '''if''' "отец" {{---}} левый ребенок '''if''' есть красный "дядя" parent = black uncle = black grandfather = red t = grandfather '''else''' '''if''' t {{---}} правый сын t = parent leftRotate(t) parent = black grandfather = red rightRotate(grandfather) '''else''' <font color=green>// "отец" {{---}} правый ребенок </font> '''if''' есть красный "дядя" parent = black uncle = black grandfather = red t = grandfather '''else''' <font color=green>// нет "Дядядяди" чёрный. Если выполнить только перекрашивание, то может нарушиться постоянство чёрной высоты дерева по всем ветвям. Поэтому выполняем поворот. Если добавляемый узел был правым потомком, то необходимо сначала выполнить левое вращение, которое сделает его левым потомком</font> '''if''' t {{---}} левый ребенок t = t.parent rightRotate(t) parent = black grandfather = red leftRotate(grandfather)[[Файл:D_2.png|275px|]] root = black <font color=green>// восстанавливаем свойство корня </font>

# * Если у вершины нет детей, то изменяем указатель на неё у родителя на <tex>nil</tex>.# * Если у неё только один ребёнок, то делаем у родителя ссылку на него вместо этой вершины.# * Если же имеются оба ребёнка, то находим вершину со следующим значением ключа. У такой вершины нет левого ребёнка(так как такая вершина находится в правом поддереве исходной вершины и она самая левая в нем, иначе бы мы взяли ее левого ребенка. Иными словами сначала мы переходим в правое поддерево, а после спускаемся вниз в левое до тех пор, пока у вершины есть левый ребенок). Удаляем уже эту вершину описанным во втором пункте способом, скопировав её ключ в изначальную вершину.Проверим балансировку дерева. Т.к. Так как при удалении красной вершины свойства дерева не нарушаются, то восстановление балансировки потребуется только при удалении чёрной. Рассмотрим ребёнка удалённой вершины. * Если брат этого ребёнка красный, то делаем вращение вокруг ребра между отцом и братом, тогда брат становится родителем отца. Красим его в чёрный, а отца {{---}} в красный цвет, сохраняя таким образом черную высоту дерева. Хотя все пути по-прежнему содержат одинаковое количество чёрных узлов, сейчас <tex>x</tex> имеет чёрного брата и красного отца. Таким образом, мы можем перейти к следующему шагу. *:*:[[Файл:Untitled-3.png|400px|]]*:* Если брат текущей вершины был чёрным, то получаем три случая:** Оба ребёнка у брата чёрные. Красим брата в красный цвет и рассматриваем далее отца вершины. Делаем его черным, это не повлияет на количество чёрных узлов на путях, проходящих через <tex>b</tex>, но добавит один к числу чёрных узлов на путях, проходящих через <tex>x</tex>, восстанавливая тем самым влиянние удаленного чёрного узла. Таким образом, после удаления вершины черная глубина от отца этой вершины до всех листьев в этом поддереве будет одинаковой.**:**:[[Файл:Untitled-4.png|400px|]]**:** Если у брата правый ребёнок чёрный, а левый красный, то перекрашиваем брата и его левого сына и делаем вращение. Все пути по-прежнему содержат одинаковое количество чёрных узлов, но теперь у <tex>x</tex> есть чёрный брат с красным правым потомком, и мы переходим к следующему случаю. Ни <tex>x</tex>, ни его отец не влияют на эту трансформацию.**:**:[[Файл:Untitled-5.png|400px|]]**:** Если у брата правый ребёнок красный, то перекрашиваем брата в цвет отца, его ребёнка и отца {{---}} в чёрный, делаем вращение. Поддерево по-прежнему имеет тот же цвет корня, поэтому свойство <tex>3</tex> и <tex>4</tex> не нарушаются. Но у <tex>x</tex> теперь появился дополнительный чёрный предок: либо <tex>a</tex> стал чёрным, или он и был чёрным и <tex>b</tex> был добавлен в качестве чёрного дедушки. Таким образом, проходящие через <tex>x</tex> пути проходят через один дополнительный чёрный узел. Выходим из алгоритма.**:**: [[Файл:Untitled-6.png|400px|]] Продолжаем тот же алгоритм, пока текущая вершина чёрная и мы не дошли до корня дерева.Из рассмотренных случаев ясно, что при удалении выполняется не более трёх вращений. '''Псевдокод:''' '''func''' delete(key) Node p = root <font color=green>// находим узел с ключом key</font> '''while''' p.key != key '''if''' p.key < key p = p.right '''else''' p = p.left '''if''' у p нет детей '''if''' p {{---}} корень root = ''nil'' '''else''' ссылку на p у "отца" меняем на ''nil'' '''return''' Node y = ''nil'' Node q = ''nil'' '''if''' один ребенок ссылку на у от "отца" меняем на ребенка y '''else''' <font color=green>// два ребенка</font> y = вершина, со следующим значением ключа <font color=green>// у нее нет левого ребенка </font> '''if''' y имеет правого ребенка y.right.parent = y.parent '''if''' y {{---}} корень root = y.right '''else''' у родителя ссылку на y меняем на ссылку на первого ребенка y '''if''' y != p p.colour = y.colour p.key = y.key '''if''' y.colour == black <font color=green>// при удалении черной вершины могла быть нарушена балансировка</font> fixDeleting(q)   '''func''' fixDeleting(p: '''Node''') <font color=green>// далее родственные связи относительно p</font> '''while''' p {{---}} черный узел и не корень '''if''' p {{---}} левый ребенок '''if''' "брат" красный brother = black parent = red leftRotate(parent) '''if''' у "брата" черные дети <font color=green>// случай <tex>1:</tex> "брат" красный с черными детьми</font> brother = red '''else''' '''if''' правый ребенок "брата" черный <font color=green>// случай, рассматриваемый во втором подпункте:</font> brother.left = black <font color=green>// "брат" красный с черными правым ребенком</font> brother = red rightRotate(brother) brother.colour = parent.colour <font color=green>// случай, рассматриваемый в последнем подпункте</font> parent = black brother.right = black leftRotate(parent) p = root '''else''' <font color=green>// p {{---}} правый ребенок</font> <font color=green>// все случаи аналогичны тому, что рассмотрено выше</font> '''if''' "брат" красный brother = black parent = red rightRotate(p.parent) '''if''' у "брата" черные дети brother = red '''else''' '''if''' левый ребенок "брата" черный brother.right = black brother = red leftRotate(brother); brother = parent parent = black brother.left = black rightRotate(p.parent) p = root p = black root = black === Объединение красно-чёрных деревьев ===Объединение двух красно-чёрных деревьев <tex>T_{1}</tex> и <tex>T_{2}</tex> по ключу <tex>k</tex> возвращает дерево с элементами из $T_2$, $T_1$ и $k$. Требование: ключ $k$ {{---}} разделяющий. То есть $\forall k_1\in T_1, k_2 \in T_2: k_1\leqslant k\leqslant k_2$. Если оба дерева имеют одинаковую черную высоту, то результатом будет дерево с черным корнем $k$, левым и правым поддеревьями $k_1$ и $k_2$ соответствено. Теперь пусть у $T_1$ черная высота больше (иначе аналогично). * Находим в дереве $T_1$ вершину $y$ на черной высоте, как у дерева $T_2$ вершину с максимальным ключом. Это делается несложно (особенно если мы знаем черную высоту дерева): спускаемся вниз, поддерживая текущую черную высоту.*:Идем вправо. Когда высота станет равной высоте $T_2$, остановимся.*:Заметим, что черная высота $T_2\geqslant 2$. Поэтому в дереве $T_1$ мы не будем ниже, чем $2$. Пусть мы не можем повернуть направо (сын нулевой), тогда наша высота $2$ (если мы в черной вершине) или $1$ (если в красной). Второго случая быть не может, ибо высота $T_2\geqslant 2$, а в первом случае мы должны были завершить алгоритм, когда пришли в эту вершину.*:Очевидно, мы окажемся в черной вершине (ибо следующий шаг даст высоту меньше). Очевидно, мы оказались на нужной высоте.*:Теперь пусть мы попали не туда. То есть существует путь от корня до другой вершины. Посмотрим на то место, где мы не туда пошли. Если мы пошли вправо, а надо бы влево, то $x$ имеет больший ключ (по свойству дерева поиска). А если пошли влево, а не вправо, значит правого сына и нет (точнее, есть, но он нулевой), значит в правом поддереве вообще нет вершин.*:Более того, все вершины с высотами меньше $y$, которые имеют ключ больше $y$, будут находиться в поддереве $y$. Действительно, мы всегда идем вправо. Инвариант алгоритма на каждом шаге {{---}} в поддереве текущей вершины содержатся все вершины, ключ которых больше текущего. Проверяется очевидно.*:Еще поймем, как будем хранить черную высоту дерева. Изначально она нулевая (в пустом дереве). Далее просто поддерживаем ее при операциях вставки и удаления.* Объединим поддерево. $k$ будет корнем, левым и правым сыновьями будут $T_y$ и $T_2$ соответственно.*:Покажем, что свойства дерева поиска не нарушены.*:Так как все ключи поддерева $y$ не более $k$ и все ключи $T_2$ не менее $k$, то в новом поддереве с корнем $k$ свойства выполняются.*:Так как $k$ больше любого ключа из $T_1$, то выполняется и для всего дерева.* Красим $k$ в красный цвет. Тогда свойство $4$ будет выполнено. Далее поднимаемся вверх, как во вставке операциях, поворотами исправляя нарушение правила $3$.* В конце корень красим в черный, если до этого был красный (это всегда можно сделать, ничего не нарушив).  '''Псевдокод:''' '''func''' join(T_1, T_2, k) '''if''' черные высоты равны return Node(k, black, T_1, T_2) '''if''' высота T_1 больше T' = joinToRight(T_1, T_2, k) T'.color = black return T' '''else''' T' = joinToLeft(T_1, T_2, k) T'.color = black return T' '''func''' joinToRight(T_1, T_2, k) Y = find(T_1, bh(T_2)) T' = Node(k, red, Y, T_2) '''while''' нарушение действуем как во вставке return T' '''func''' find(T, h) curBH = bh(T) curV = T '''while''' curBH != h curV = curV.right '''if''' curV.color == black --curBH return curV Сложность: $\mathcal{O}(T_1.h-T_2.h)=\mathcal{O}(\log(n))$

1. Если брат этого ребёнка красный, то делаем вращение вокруг ребра между отцом и братом=== Разрезание красно-чёрного дерева ===Разрезание дерева по ключу $k$ вернет два дерева, тогда брат становится родителем отца. Красим его в чёрныйключи первого меньше $k$, а отца второго {{--- в красный цвет}} не меньше.

[[Файл:D_3Пройдем вниз как во время поиска. Все левые поддеревья вершин пути, корень которых не в пути, будут в первом поддереве. Аналогично правые {{---}} в правом.Теперь поднимаемся и последовательно сливаем деревья справа и слева с ответами.png|390px|]]

2. Если брат текущей вершины был чёрнымЗа счет того, что функция '''$join$''' работает за разницу высот, и мы объединяем снизу, то получаем три случая:* Оба ребёнка у брата чёрные. Красим брата в красный цвет и рассматриваем далее отца вершины, благодаря телескопическому эффекту на работу времени будут влиять только крайние слагаемые, которые порядка глубины дерева.

[[Файл:D_4'''Псевдокод''' '''func''' split(T, k) '''if''' T = nil return $\langle$nil, nil$\rangle$ '''if''' k < T.png|390px|]]key $\langle$L',R'$\rangle$ = split(L,k) return $\langle$L',join(R',T.key,R)$\rangle$ '''else''' $\langle$L',R'$\rangle$ = split(R,k) return $\langle$join(L,T.key,L'),R)$\rangle$

[[Файл:D_5Точно такой же алгоритм в разрезании AVL деревьев. Оно и понятно {{---}} нам нужна лишь корректная функция '''$join$''', работающая за разницу высот.png|390px|]]

* В же == Преимущества красно-чёрных деревьев ==#Самое главное преимущество красно-черных деревьев в том, что при вставке выполняется не более <tex>O(1)</tex> вращений. Это важно, например, в алгоритме построения [[Динамическая выпуклая оболочка (достаточно log^2 на добавление/удаление)|динамической выпуклой оболочки]]. Ещё важно, что примерно половина вставок и удалений произойдут задаром. #Процедуру балансировки практически всегда можно выполнять параллельно с процедурами поиска, так как алгоритм поиска не зависит от атрибута цвета узлов.#Сбалансированность этих деревьев хуже, чем у брата правый ребёнок красный[[АВЛ-дерево | АВЛ]], то перекрашиваем брата но работа по поддержанию сбалансированности в красно-чёрных деревьях обычно эффективнее. Для балансировки красно-чёрного дерева производится минимальная работа по сравнению с АВЛ-деревьями.#Использует всего $1$ бит дополнительной памяти для хранения цвета вершины. Но на самом деле в цвет отцасовременных вычислительных системах память выделяется кратно байтам, поэтому это не является преимуществом относительно, например, АВЛ-дерева, которое хранит $2$ бита. Однако есть реализации красно-чёрного дерева, его ребёнка и отца которые хранят значение цвета в бите. Пример {{---}} Boost Multiindex. В этой реализации уменьшается потребление памяти красно- чёрным деревом, так как бит цвета хранится не в чёрныйотдельной переменной, делаем вращение и выходим а в одном из алгоритмауказателей узла дерева.

[[Файл:D_6Красно-чёрные деревья являются наиболее активно используемыми на практике самобалансирующимися деревьями поиска. В частности, ассоциативные контейнеры библиотеки STL(map, set, multiset, multimap) основаны на красно-чёрных деревьях. TreeMap в Java тоже реализован на основе красно-чёрных деревьев.png|390px|]]

Продолжаем тот же алгоритм== Связь с [[2-3_дерево | 2-3 и 2-4 деревьями]] == === Изоморфизм деревьев === Красно-черные деревья изоморфны [[B-дерево | B-деревьям]] $4$ порядка. Реализация B-деревьев трудна на практике, поэтому для них был придуман аналог, называемый симметричным бинарным B-деревом<ref>[http://rflinux.blogspot.ru/2011/10/red-black-trees.html Абстрактные типы данных {{---}} Красно-чёрные деревья (Red black trees)]</ref>. Особенностью симметричных бинарных B-деревьев является наличие горизонтальных и вертикальных связей. Вертикальные связи отделяют друг от друга разные узлы, а горизонтальные соединяют элементы, хранящиеся в одном узле B-дерева. Для различения вертикальных и горизонтальных связей вводится новый атрибут узла {{---}} цвет. Только один из элементов узла в B-дереве красится в черный цвет. Горизонтальные связи ведут из черного узла в красный узел, а вертикальные могут вести из любого узла в черный. [[Файл:Rbtree.png‎|750px|]] === Корректность сопоставления деревьев === Сопоставив таким образом цвета узлам дерева, можно проверить, что полученное дерево удовлетворяет всем свойствам красно-черного дерева.{{Утверждение|statement=У красного узла родитель не может быть красного цвета.|proof=В узле 2-4 дерева содержится не более трех элементов, один из которых обязательно красится в черный при переходе к симметричному бинарному B-дереву. Тогда оставшиеся красные элементы, если они есть, пока текущая подвешиваются к черному. Из этих элементов могут идти ребра в следующий узел 2-4 дерева. В этом узле обязательно есть черная вершина чёрная , в нее и мы направляется ребро. Оставшиеся элементы узла, если они есть, подвешиваются к черной вершине аналогично первому узлу. Таким образом, ребро из красной вершины никогда не попадает в красную, значит у красного элемента родитель не дошли может быть красным.}}{{Утверждение|statement=Число черных узлов на любом пути от листа до вершины одинаково.|proof=В B-дереве глубина всех листьев одинакова, следовательно, одинаково и количество внутренних узлов на каждом пути. Мы сопоставляем чёрный цвет одному элементу внутреннего узла B-дерева. Значит, количество чёрных элементов на любом пути от листа до корня вершины одинаково.}}{{Утверждение|statement=Корень дерева{{---}} черный.Из рассмотренных случаев ясно|proof=Если в корне один элемент, то он {{---}} чёрный. Если же в корне несколько элементов, то заметим, что при удалении выполняется не более трёх вращенийодин элемент окрашен в чёрный цвет, остальные {{---}} в красный. Горизонтальные связи, соединяющие элементы внутри одного узнала, ведут из чёрного элемента в красный, следовательно, красные элементы будут подвешены к чёрному. Он и выбирается в качестве корня симметричного бинарного B-дерева.}}

=== Объединение красно-чёрных деревьев Сопоставление операций в деревьях ===Объединение двух красно-чёрных деревьев <tex>T_{1}</tex> и <tex>T_{2}</tex> по элементу x выполняется, когда <tex>key[T_{1}] \leqslant x</tex> и <tex>x \leqslant key[T_{2}]</tex>.Найдём чёрные высоты деревьев. Предположим также, что <tex>hb[T_{1}] \geqslant hb[T_{2}]</tex>. Тогда в дереве <tex>T_{1}</tex> ищем среди чёрных вершин, имеющих чёрную высоту <tex>hb[T_{2}]</tex>, вершину y с наибольшим ключом. Пусть <tex>T_{y}</tex> — поддерево с корнем y. Объединяем это дерево с <tex>T_{2}</tex> в одно с красным корнем x. Теперь родителем вершины x становится бывший отец вершины y. Осталось восстановить свойства красно-черного дерева, чтобы у красной вершины не было красных детей. Делается аналогично алгоритму добавления вершины.

ТВсе операции, совершаемые в B-дереве, сопоставляются операциям в красно-черном дереве. Для этого достаточно доказать, что изменение узла в B-дереве соответствует повороту в красно-черном дереве.{{Утверждение|statement=Изменение узла в B-дереве соответствует повороту в красно-черном дереве.|proof=В 2-4 дереве изменение узла необходимо при добавлении кнему элемента. общее время выполнения каждой из операций порядка высоты Рассмотрим, как будет меняться структура B-дерева и, соответственно,то все они выполняются за <tex>O(\log{n})</tex>.красно-черного дерева при добавлении элемента:

Рассмотрим пример объединения два * Если в узле содержался один элемент, то происходит добавление второго элемента, соответствующее добавлению красного элемента в красно-чёрных дерева и вершины (35):черное дерево.

[[Файл:Merge1* Если в узле содержалось два элемента, то происходит добавление третьего элемента, что соответствует повороту и перекрашиванию вершин в красно-черном дереве.JPG‎|450px|]]

Узнаём чёрную высоту левого и правого дерева. Чёрная высота левого и правого деревьев равна 2 и 1 соответственно.Т.к. чёрная высота левого дерева больше* Если в узле содержалось три элемента, то ищем в левом дереве чёрную вершинуодин из элементов узла становится самостоятельным узлом, имеющую чёрную высоту правого дерева, с наибольшим ключомк которому подвешиваются узел из пары элементов и узел из одного элемента.Чёрная высота вершины (8) левого Эта операция соответствует перекрашиванию яруса красно-черного дерева равна высоте правого дерева и ключ является наибольшим. Поэтому вершина (8) становится левым сыном вершины (35), а правое дерево будет правым сыномиз красного в черный цвет. Вершина (35) станет правым сыном вершины (0):

[[Файл:Merge2Rbtree2.JPG‎png‎|450px1000px|]]

Далее прверяем: не наришили ли мы свойства При удалении элемента из узла B-дерева совершаются аналогичные процессы поворота и окраски вершин в красно-чёрного деревачерном дереве, только в обратном направлении. Т.к. прсутствует нарушение (у красной вершины есть красный сын)Так как все операции в 2-4 дереве происходят за счет изменения узлов, то перекрасим вершины и сделаем поворот:они эквивалентны соответствующим операциям в красно-черном дереве.}}

[[Файл:Merge3{{Теорема|statement=Приведенное выше сопоставление B-деревьев и красно-черных деревьев является изоморфизмом.JPG‎|450px|]]proof=Доказательство следует непосредственно из приведенных выше утверждений.}}

== Преимущество красно-чёрных деревьев См. также==Одно из основных преимуществ красно-чёрных деревьев заключается в том, что процедуру балансировки практически всегда можно выполнять параллельно с процедурами поиска, т.к. алгоритм поиска не зависит от аттрибута цвета узлов. Также при вставке выполняется не более <tex>O(1)</tex> вращений.

==СсылкиИсточники информации==

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%F0%E0%F1%ED%EE-%F7%B8%F0%ED%EE%E5_%E4%E5%F0%E5%E2%EE Википедия]* [http://algolistrflinux.manualblogspot.ru/ds2011/rbtree.php algolist.manual.ru]* [http:10//lecturesred-black-trees.stargeo.ru/alg/algorithms.htm#_Toc241931998 lectures.stargeo.ru]* [http://nord.org.ua/static/course/algo_2009/lecture10.pdf nord.org.uahtml Абстрактные типы данных {{---}} Красно-чёрные деревья (Red black trees)]