Изменения

'''Сплей-дерево (Splay-tree)''' {{---}} саморегулирующееся двоичное дерево поиска. Относится к разряду сливаемых деревьев. Сплей-дерево было придумано Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в 1983 году.

Пусть <tex> p(x) </tex> - предок вершины <tex> x </tex>.

Эвристика "Move to Root" совершает повороты вокруг ребра <tex> \langle x, p(x) \rangle </tex>, пока <tex> x </tex> не окажется корнем дерева.

Данный поворот аналогичен zig - повороту.

"Splay" так же как и "Move to Root" перетаскивает вершину в корень дерева, но при этом она использует другую последовательность поворотов. Пока <tex> x </tex> не является корнем дерева выполняется следующее :

# Zig. Если <tex> p(x) </tex> - корень дерева, то совершаем один поворот вокруг ребра <tex> \langle x, p(x) \rangle </tex>, делая <tex> x </tex> корнем дерева. Данный случай является крайним и выполняется только один раз в конце, если изначальная глубина <tex> x </tex> была нечетной.

Данная операция занимает <tex> O(d) </tex> времени, где <tex> d </tex> - длина пути от <tex> x </tex> до корня. В результате этой операции <tex> x </tex> становится корнем дерева, а расстояние до корня от каждой вершины сокращается примерно пополам, что связано с разделением случаев "zig-zig" и "zig-zag".

Merge(<tex>T_1</tex>, <tex>T_2</tex>). У нас есть два дерева <tex>T_1</tex> и <tex>T_2</tex>, причём подразумевается, что все элементы первого дерева меньше элементов второго. Запускаем Splay от самого большого элемента в дереве <tex>T_1</tex> (пусть это элемент <tex>i</tex>). После этого корень <tex>T_1</tex> содержит элемент <tex>i</tex>, при этом у него нет правого ребёнка. Делаем <tex>T_2</tex> правым поддеревом <tex>i</tex> и возвращаем полученное дерево.

Split(<tex>i</tex>, <tex>T</tex>). Запускаем Splay от элемента <tex>i</tex> и возвращаем два дерева, полученные отсечением правого или левого поддерева от корня, в зависимости от того, содержит корень элемент больше или не больше, чем <tex>i</tex>.

Add(<tex>i</tex>, <tex>T</tex>). Запускаем Split(<tex>i</tex>, <tex>T</tex>), который нам возвращает деревья <tex>T_1</tex> и <tex>T_2</tex>, их подвешиваем к <tex>i</tex> как левое и правое поддеревья соответственно.

Remove(<tex>i</tex>, <tex>T</tex>). Запускаем Splay от <tex>i</tex>-го элемента и возвращаем Merge от его детей.