355
правок
Изменения
Новая страница: « == Теоремы == === Список === * '''Правило Лопиталя''' * Замечание о представимости функции рядо...»
== Теоремы ==
=== Список ===
* '''Правило Лопиталя'''
* Замечание о представимости функции рядом Тейлора
* Дифференцирование разложений Тейлора
* ''Иррациональность числа e''
* Критерий монотонности и строгой монотонности
* Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума
* Лемма о трех хордах
* Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции
* Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции
* Описание выпуклости с помощью касательных
* Дифференциальный критерий выпуклости
* Неравенство Йенсена
* Неравенство Гельдера
* Неравенство Минковского
* Неравенство Коши
* Теорема о свойствах неопределенного интеграла
* Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
* Лемма о свойствах сумм Дарбу
* Критерий интегрируемости Римана
* Интегрируемость на меньшем параллелепипеде
* Аддитивность интеграла
* Предел римановых сумм
* Линейность интеграла
* Монотонность интеграла
* ''Интегрируемость модуля интегрируемой функции''
* ''Интегрируемость произведения''
* ''Интегрируемость частного''
* Ослабленный критерий Лебега. Следствие
* Теорема о среднем. Следствия
* Теорема Барроу
* Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций
* Замена переменных и интегрирование по частям в определенном инетграле
* ''Иррациональность числа пи''
* Формула Валлиса
* Формула Тейлора с интегральным остатком
* Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей
* Неравенства Гельдера и Минковского
* Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши
* Теорема о формуле трапеций
* Формула Эйлера - Маклорена
* Формула Стирлинга
* ''Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям''
* ''Признак сравнения сходимости несобственного интеграла''
=== Правило Лопиталя ===
==== Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0 ====
{{Теорема
|id=th1_1.
|statement=Пусть:
<tex>-\infty \le a < b \le +\infty</tex>,
функции ''f'' и ''g'' дифференцируемы на ''(a, b)'',
<tex>g'(t) \ne 0</tex> для любого <tex>t \in (a, b)</tex>,
<tex>\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{lim} g(x) = 0</tex>
и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.
Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.
|proof=1. Пусть <tex>a \in \mathbb{R}</tex>. Доопределим функции в точке ''a'' нулём: <tex>f(a) = g(a) = 0</tex>. Тогда доопределенные функции ''f'' и ''g'' будут непрерывны на ''[a, b)''. Возьмем последовательность <tex>\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a</tex>, и докажем, что <tex>{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A</tex>. Функции ''f'' и ''g'' удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке <tex>[a, x_n]</tex>. Поэтому для любого <tex>n \in \mathbb{N}</tex> найдется такая точка <tex>c_n \in (a, x_n)</tex>, что
<tex> {{f(x_n} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.
По [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Katyatitkova/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BD#.D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BC.D0.B0_.D0.BE_.D1.81.D0.B6.D0.B0.D1.82.D0.BE.D0.B9_.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8 теореме о сжатой последовательности] <tex>c_n \to a</tex>. По [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Katyatitkova/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BD#.D0.9E.D0.B4.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.BE.D0.BD.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D1.8B определению правостороннего предела] на языке последовательностей <tex>{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A</tex>, а тогда в силу произвольности <tex> \{x_n\}</tex> и <tex>{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A</tex>.
2. Пусть <tex>a = -\infty</tex>. В силу локальности предела можно считать, что ''b < 0''. Положим <tex>\phi (t) = f(-{1 \over t}), \psi (t) = g(-{1 \over t}) (t \in (0, - {1 \over b}))</tex>. Тогда
<tex>\phi '(t) = {1 \over t^2} f'(-{1 \over t})</tex>,
<tex>\psi '(t) = {1 \over t^2} g'(-{1 \over t}) \ne 0</tex>,
<tex>\underset {t \to 0+}{lim} \phi (t) = \underset {x \to -\infty}{lim} f(x) = 0</tex>,
<tex>\underset {t \to 0+}{lim} \psi (t)= \underset {x \to -\infty}{lim} g(x) = 0</tex>,
<tex>\underset {t \to 0+}{lim} {\phi '(t) \over \psi '(t)} = \underset{x \to -\infty}{lim} {f'(x) \over g'(x)} = A</tex>.
По доказанному
<tex>\underset {x \to -\infty}{lim} {f(x) \over g(x)} = \underset {t \to 0+}{lim} {\phi (t) \over \psi (t)} = A</tex>.
}}
==== Правило Лопиталя для неопределенностей вида inf/inf ====
{{Теорема
|id=th1_2.
|statement=Пусть:
<tex>-\infty \le a < b \le +\infty</tex>,
функции ''f'' и ''g'' дифференцируемы на ''(a, b)'',
<tex>g'(t) \ne 0</tex> для любого <tex>t \in (a, b)</tex>,
<tex>\underset{x \to a+}{lim} g(x) = \infty</tex>
и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.
Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.
|proof=1. Пусть <tex>A = 0</tex>. Возьмем последовательность <tex>\{x_n\}</tex> со свойствами: <tex>x_n \in (a, b), x_n \to a</tex>, и докажем, что <tex>{f(x_n) \over g(x_n)} \to 0</tex>. Зафиксируем число <tex>\sigma > 0</tex>. По условию найдется такое <tex>y \in (a, b)</tex>, что для любого <tex>c \in (a, y)</tex> будет <tex>g(c) \ne 0</tex> и <tex>\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert < \sigma</tex>. Начиная с некоторого номера <tex>x_n \in (a, y)</tex>, поэтому можно считать, что <tex>x_n \in (a, y)</tex> для всех ''n''. По теореме Коши для любого ''n'' найдется такое <tex>c_n \in (x_n, y)</tex>, что
<tex>{f(x_n) \over g(x_n)} = {f(x_n) - f(y) \over g(x_n) - g(y)} {g(x_n) - g(y) \over g(x_n)} + {f(y) \over g(x_n)} = {f'(c_n) \over g'(c_n)} \left ( 1 - {g(y) \over g(x_n)} \right ) + {f(y) \over g(x_n)}</tex>.
Учитывая еще, что <tex>g(x_n) \to \infty</tex>, находим
<tex>\left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma \left ( 1 + \left\vert{g(y) \over g(x_n)}\right\vert \right ) + \left\vert {f(y) \over g(x_n)}\right\vert \underset{n \to \infty}{\to} \sigma</tex>.
Поэтому <tex>\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma</tex>. Но, так как <tex>\sigma</tex> произвольно, <tex>\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert = 0</tex>, а значит, и <tex>lim {f(x_n) \over g(x_n)} = 0</tex>.
2. Пусть <tex>A \in \mathbb{R}</tex> произвольно. Положим <tex>h = f - Ag</tex>. Тогда
<tex>\underset{x \to a+}{lim} {h'(x) \over g'(x)} = \underset{x \to a+}{lim} \left ( {f'(x) \over g'(x)} - A \right ) = 0</tex>.
По доказанному <tex>{h(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} 0</tex>, то есть <tex>{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A</tex>.
3. Случай <tex>A = +\infty</tex> рассматривается аналогично случаю <tex>A = 0</tex>. При этом вместо <tex>\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert < \sigma</tex> используется неравенство <tex>{f'(c) \over g'(c)} > M</tex> и доказывается, что <tex>\underline{lim} {f(x_n) \over g(x_n)} \ge M</tex>. Случай <tex>A = -\infty</tex> разбирается аналогично или сводится к случаю <tex>A = +\infty</tex> переходом к функции <tex>-f</tex>.
}}
== Определения ==
=== Список ===
* Ряды Тейлора основных элементарных функций
* Локальный экстремум
* Точка возрастания функции
* Стационарная точка
* Выпуклая функция
* Выпуклое множество в R^m
* Надграфик и подграфик
* Опорная прямая
* Первообразная
* Таблица первообразных
* Дробление отрезка
* Дробление параллелепипеда
* Что значит, что одно дробление мельче другого
* Сумма Дарбу
* Верхний интеграл Дарбу
* Интегрируемая по Риману функция
* Интеграл функции по параллелепипеду
* Риманова сумма
* Колебание функции на множестве
* Множество объема 0
* Множество меры 0
* Интеграл с переменным верхним пределом
* Кусочно-непрерывная функция
* Почти первообразная
* Несобственный интеграл
