Изменения
Нет описания правки
* Любая вершина дерева всегда имеет меньшее значение, чем её дети. Тогда любой предок <tex>A[i]</tex> или <tex>A[j]</tex> меньше их самих.
* <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> ближайший к корню и по п.1 имеет наименьшее значение в своем поддереве. По построению, это поддерево содержит в частности подмассив <tex>A[i..j], </tex> и <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> находится между <tex>A[i]</tex> и <tex>A[j]</tex>. То есть <tex>LCA(A[i], A[j])</tex> является <tex>RMQ(i, j).</tex>
== Построение дерева за линейное время ==
Пусть дан массив <tex>A[1..N]</tex>. Будем по очереди слева на право добавлять элементы в дерево. Чтобы добавить новое значение <tex>A[i]</tex>, начнем обход из вершины <tex>A[i-1]</tex> к корню, пока не найдем вершину <tex>x</tex>, для которой <tex>x < A[i]</tex>. Тогда правого сына <tex>x</tex> назначим левым сыном <tex>A[i]</tex>, а <tex>A[i]</tex> {{---}} правым сыном <tex>x</tex>. Рассмотрим правую ветку дерева, т.е. по которой проходит обход алгоритма. Заметим, что при добавлении нового узла в дерево элементы, по которым только что прошелся алгоритм отправляются налево, т.е. перестают принадлежать правой ветке. Таким образом процедура поиска родителя не сможет выполнится более <tex>n</tex> раз и итоговая асимптотика алгоритма <tex>O(n)</tex>.
== Сложность ==
Препроцессинг для <tex>LCA</tex> {{---}} <tex>O(n)</tex> и ответ на запрос <tex>O(1)</tex>.
В итоге получили <tex>RMQ</tex> {построение <tex>O(n)</tex>, запрос <tex>O(1)</tex>}.
== См.также ==
*[[Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]
==Ссылки==
*[[http://e-maxx.ru/algo/rmq_linear|Задача RMQ. Решение за O (1) с препроцессингом O (N)]]
