355
правок
Изменения
→Лемма о трех хордах
=== Лемма о трех хордах ===
{{Лемма
|id=лемма о трех хордах
|statement=Пусть функция <tex>f</tex> выпукла вниз на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, <tex>x_1, x_2, x_3 \in \langle a, b\rangle, x_1 < x_2 < x_3</tex>. Тогда
<tex>{f(x_2) - f(x_1) \over x_2 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_1) \over x_3 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_2) \over x_3 - x_2}</tex>.
|proof=По [[#определение выпуклости|определению выпуклости]]
<tex>f(x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_3)</tex>,
где <tex>t={x_3 - x_2 \over x_3 - x_1}, \ 1-t = {x_2 - x_1 \over x_3 - x_1}</tex>. Преобразуем неравенство двумя способами. С одной стороны,
<tex>f(x_2) \le f(x_1)+(1-t)(f(x_3)-f(x_1))=f(x_1)+(x_2-x_1){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x_1}</tex>,
что равносильно левому неравенству в лемме. С другой стороны,
<tex>f(x_2)\le f(x_3)-t(f(x_3)-f(x_1))=f(x_3)-(x_3-x_2){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x)1}</tex>,
что равносильно правому неравенству в лемме.
}}
=== Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции ===
