355
правок
Изменения
→Лемма о свойствах сумм Дарбу
=== Лемма о свойствах сумм Дарбу ===
{{Теорема
|id=лемма о свойствах сумм Дарбу
|statement=
1. <tex>S_\tau(f)=\underset{\xi}{\sup}\sigma_\tau(f,\xi),\ s_\tau(f)=\underset{\xi}{\inf}\sigma_\tau(f,\xi)</tex> (грани берутся по всевозможным оснащениям дробления <tex>\tau</tex>).
2. При добавлении новых точек дробления верхняя сумма не увеличится, а нижняя - не уменьшится.
3. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней (даже отвечающей другому дроблению).
|proof=1. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. Очевидно, что <tex>f(\xi_k)\le M_k\ \forall k\in[0:n-1]</tex> . Умножая эти неравенства на <tex>\Delta x_k</tex> и суммируя по <tex>k</tex>, получаем неравенство <tex>\sigma\le S</tex>, то есть <tex>S</tex> - верхняя граница для интегральных сумм Римана. Докажем, что эта верхняя граница точная.
Пусть <tex>f</tex> ограничена сверху на <tex>[a,b]</tex>. Возьмем <tex>\epsilon>0</tex> и для каждого <tex>k</tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум|определению верхней грани]] подберем <tex>\xi^*_k\in[x_k,x_{k+1}]:\ f(\xi^*_k)>M_k-{\epsilon\over b-a}</tex>. Тогда
<tex>\sigma^*=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi^*_k)\Delta x_k>S={\epsilon\over b-a}\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}\Delta x_k=S-\epsilon</tex>.
Так как <tex>\epsilon</tex> произвольно, <tex>S</tex> - точная верхняя граница.
Пусть <tex>f</tex> не ограничена сверху на <tex>[a,b]</tex>. Тогда <tex>\exists \nu:\ f</tex> - не ограничена сверху на <tex>[x_\nu,x_{\nu+1}]</tex>. Возьмем <tex>A>0</tex> и выберем точки <tex>\xi^*_k</tex> при <tex>k\ne\nu</tex> произвольно, а <tex>\xi^*_\nu</tex> - так, чтобы
<tex>f(\xi^*_\nu)>{1\over\Delta x_\nu}\left(A-\underset{k\ne\nu}{\sum}f(\xi^*_k)\Delta x_k\right)</tex>.
Тогда
<tex>\sigma^*=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi^*_k)\Delta x_k>A</tex>.
Так как <tex>A</tex> произвольно, <tex>\underset{\xi}{\sup}\sigma=+\infty=S</tex>.
2. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. В силу принципа математической индукции достаточно проверить, что верхняя сумма не увеличится при добавлении одной новой точки дробления. Пусть дробление <tex>T</tex> получено из дробления <tex>\tau=\{x_k\}^n_{k=0}</tex> добавлением точки <tex>c\in(x_\nu,x_{\nu+1})</tex>. Тогда
<tex>S_\tau=\underset{k=0}{\overset{\nu-1}{\sum}}M_k\Delta x_k+M_\nu\Delta x_\nu+\overset{n-1}{\underset{k=\nu+1}{\sum}}M_k\Delta x_k</tex>,
<tex>S_T=\underset{k=0}{\overset{\nu-1}{\sum}}M_k\Delta x_k+M'(c-x_\nu)+M''(x_{\nu+1}-c)+\underset{k=\nu+1}{\overset{n-1}{\sum}}M_k\Delta x_k</tex>,
где <tex>M'=\underset{x\in[x_\nu,c]}{\sup}f(x),\ M''=\underset{x\in[c,x_{\nu+1}]}{\sup}f(x)</tex>. Поскольку при сужении множества его супремум не увеличивается, <tex>M'\le M_\nu</tex> и <tex>M''\le M_\nu</tex>. Поэтому
<tex>S_\tau-S_T=M_\nu\Delta x_\nu - M'(c-x_\nu)-M''(x_{\nu+1}-c)\ge M_\nu(x_{\nu+1}-x_\nu-c+x_\nu+c-x_{\nu+1} = 0.</tex>
3. Неравенство <tex>s_\tau\le S_\tau</tex> между суммами для одного и того же дробления <tex>\tau</tex> тривиально. Пусть <tex>\tau_1</tex> и <tex>\tau_2</tex> - два дробления отрезка <tex>[a,b]</tex>. Докажем, что <tex>s_{\tau_1} \le S_{\tau_2}</tex>. Положим <tex>\tau=\tau_1\cup\tau_2</tex>. Тогда по свойству 2
<tex>s_{\tau_1}\le s_\tau\le S_\tau\le S_{\tau_2}.</tex>
}}
=== Критерий интегрируемости Римана ===
