355
правок
Изменения
→Неравенство Йенсена
=== Неравенство Йенсена ===
{{Теорема
|id=неравенство Йенсена
|statement=Пусть функция <tex>f</tex> выпукла вниз на <tex>\langle a,b\rangle,\ n\in\mathbb{N}</tex>. Тогда <tex>\forall x_1,...,x_n\in\langle a,b\rangle</tex> и <tex>p_1,...,p_n>0</tex>
<tex>f\left({\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}\right)\le{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kf(x_k)\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}.</tex>
Замечание 1. Числа <tex>p_k</tex> называются ''весами'', а отношение <tex>{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}</tex> - ''взвешенным средним'' (арифметическим) чисел <tex>x_1,...,x_n</tex>. Если все <tex>p_k=1</tex>, то взвешенное среднее есть обычное среднее арифметическое <tex>{1\over n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}x_k</tex>. Неравенство Йенсена можно сформулировать так: значение выпуклой вниз функции от взвешенного среднего не превосходит взвешенного среднего значений функции.
Замечание 2. Не уменьшая общности, можно считать, что <tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k=1</tex>. При этом условии неравенство Йенсена принимает вид
<tex>f\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\right)\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kf(x_k)</tex>.
Действительно, для произвольных положительных <tex>p_k</tex> положим <tex>q_k={p_k\over\underset{j=1}{\overset{n}{\sum}}p_j}</tex>. Тогда неравенство Йенсена для весов <tex>p_k</tex> и <tex>q_k</tex> выглядит одинаково, а <tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}q_k=1</tex>.
|proof=
Пусть <tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k=1</tex>. Положим <tex>x^*=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k</tex>.
Сразу отметим, что если <tex>x_1=...=x_n</tex>, то <tex>x^*</tex> с ними совпадает, а неравенство Йенсена обращается в равенство.
Пусть среди чисел <tex>x_1,...,x_n</tex> есть различные.
Проверим, что <tex>x^*\in(a,b)</tex>. Действительно, хоть одно из чисел <tex>x_k</tex> меньше <tex>b</tex>, поэтому
<tex>x^*=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k<\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kb=b</tex>.
Аналогично доказывается, что <tex>x^*>a</tex>.
В точке <tex>x^*</tex> у функции <tex>f</tex> существует опорная прямая; пусть она задается уравнением <tex>\ell(x)=\alpha x+\beta</tex>. По [[#Опорная прямая|определению опорной прямой]] <tex>\ell(x^*)=f(x^*)</tex> и <tex>\ell(x_k)\le f(x_k)\ \forall k</tex>. Поэтому
<tex>f(x^*)=\ell(x^*)=\alpha\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k+\beta=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k(\alpha x_k+\beta=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k\ell(x_k)\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kf(x_k).</tex>
}}
=== Неравенство Гельдера ===
