108
правок
Изменения
Нет описания правки
|definition =
<tex>\Sigma_{i} = \{L|\exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in P, p - poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \exists y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\},</tex><br/>
где <tex>L</tex> - формальный язык <tex>,Q = \exists</tex> для <tex>i = 2k$-$1,</tex> <tex>Q = \forall</tex> для <tex>i = 2k</tex>.
}}
|definition =
<tex>\Pi_{i} = \{L|\exists R(x, y_{1},\cdots,y_{i}) \in P, p - poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \exists y_{2} \forall y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x, y_{1}, \cdots, y_{i}) \},</tex><br/>
где <tex>L</tex> - формальный язык <tex>,Q = \forall</tex> для <tex>i = 2k $- $1,</tex> <tex>Q = \exists</tex> для <tex>i = 2k</tex>.
}}
{{Теорема
|statement = <tex>\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>
|proof = Пусть <tex>\left]{L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i})}, \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)\right.</tex><br/>Проверим, что <tex>? L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})</tex>
<br/>
<tex>R'(x,y_{1},\cdots,y_{i+1})</tex> {
return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>
}
Проверим, что <tex>? L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{0} \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})</tex>
<br/>
<tex>R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})</tex> {
{{Теорема
|statement = <tex>\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>
|proof = Пусть <tex>\left]L \in \Pi_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)\right.</tex><br/>Проверим, что <tex>? L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})</tex>
<br/>
<tex>R'(x,y_{1},\cdots,y_{i+1})</tex> {
return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>
}
Проверим, что <tex>? L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{0} \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})</tex>
<br/>
<tex>R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})</tex> {
{{Теорема
|statement = <tex>PH \subset PS</tex>
|proof = Пусть <tex>\left]L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)\right.</tex><br/>
То есть, для перебора всех возможных значений <tex>y_{j}</tex> потребуется не более, чем <tex>i \cdot poly(|x|)</tex> памяти. Заметим, что <tex>i \cdot poly(|x|)</tex> тоже полином.
Таким образом, для любого формального языка из <tex>PH</tex> существует программа, разрешающая его на полиномиальной памяти. То есть, любой формальный язык из <tex>PH</tex> принадлежит <tex>PS</tex>.
}}
