221
правка
Изменения
Нет описания правки
<tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\cdots \rangle = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;</tex><br />
где <tex>a_0</tex> есть целое число и все остальные <tex>a_n</tex> натуральные числа.
Различают '''конечные и бесконечные ''' цепные дроби. Любая конечная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\frac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.
}}
Следовательно <tex> [a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.
}}
{{Лемма
|id=lemma2
|about=2
|statement=
В <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> {{---}} полином от <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> слагаемыхмономов.
|proof=
'''База '''. При <tex>n=0</tex>: <tex>[a_0] = a_0</tex> {{- одно слагаемое--}} полином от одной переменной с одним мономом. <tex>[a_0, a_1] = a_0*a_1 + 1</tex> {{- --}} два слагаемыхмонома.'''Переход'''. Пусть верно, что в <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> <tex>F_{n+1}</tex> слагаемыхмонома. Докажем, что в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+2}</tex> слагаемыхмонома.<tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}] = a_0[a_1,\cdots, a_{n+1}] + [a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> В <tex>[a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> нет мономов, содержащих <tex> a_0 </tex>. Значит в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+1}+F_n = F_{n+2}</tex> слагаемых.
}}
{{Теорема |id=theorem1 |about=1
|statement=
<tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex>
<tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_{n-2}][a_{n-1}, a_n]+[a_0,\cdots, a_{n-3}][a_n] = [a_{n-2}, \cdots, a_0](a_{n-1}a_n + 1) + a_n[a_{n-3}, \cdots, a_0]=a_n[a_{n-1},\cdots, a_0] + [a_{n-2}, \cdots, a_0] = [a_n, \cdots, a_0]</tex>.
}}
{{Лемма
|id=lemma3
|about=3
|statement=
<tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_{n-2}, a_{n-1}]</tex>.
|proof=
Эта формула аналогична формуле из [[#lemma1|Леммы 1]], за исключением того, что <tex>a_n</tex> "отщепляются" с другого конца.
Для получения формулы достаточно скомбинировать результаты [[#lemma1|Леммы 1]] и [[#theorem1|Теоремы 1]].
}}
[[Категория: Теория чисел]]
