355
правок
Изменения
→Теорема Барроу
=== Теорема Барроу ===
{{Теорема
|id=теорема об интеграле с переменным верхним пределом
|about=Об интеграле с переменным верхним пределом
|statement=Пусть <tex>E\subset\mathbb{R}</tex> - невырожденный промежуток, <tex>f:E\to\mathbb{R},\ f</tex> интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в <tex>E,\ a\in E,\ \Phi(x)=\int_a^xf(x\in E)</tex>. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. <tex>\Phi\in C(E).</tex>
2. Если, кроме того, <tex>f</tex> непрерывна в точке <tex>x_0\in E</tex>, то <tex>\Phi</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex> и <tex>\Phi'(x_0)=f(x_0)</tex>.
Утверждение 2 часто называют '''теоремой Барроу'''.
|proof=1. Возьмем <tex>x_0\in E</tex> и докажем непрерывность <tex>\Phi</tex> в точке <tex>x_0</tex>. Выберем такое <tex>\delta>0</tex>, что <tex>[x_0-\delta, x_0+\delta]\cap E</tex> есть невырожденный отрезок <tex>[A,B]</tex>. Функция <tex>f</tex> ограничена на <tex>[A,B]</tex> некоторым числом <tex>M</tex>. Пусть <tex>\Delta x</tex> таково, что <tex>x_0+\Delta x\in[A,B]</tex>. Тогда по [[#Аддитивность интеграла|аддитивности интеграла]]
<tex>\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)=\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}f</tex>, по по [[#i4|свойству 4]] и по [[#i6|свойству 6]]
<tex>\vert\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)\vert\le\left\vert\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}\vert f\vert\right\vert\le M\Delta x\underset{\Delta x\to0}{\to}0</tex>.
Это и доказывает непрерывность <tex>\Phi</tex> в точке <tex>x_0</tex>.
2. Проверим, что <tex>{\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)\over\Delta x}\underset{\Delta x\to0}{\to}f(x_0)</tex>.
Возьмем <tex>\varepsilon>0</tex> и по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Непрерывное отображение|определению непрерывности]] подберем <tex>\delta>0:\ \forall t\in E:\ \vert t-x_0\vert<\delta\ \ \vert f(t)-f(x_0)\vert<\varepsilon</tex>. Тогда <tex>\forall\Delta x:x_0+\Delta x\in E,\ 0<\vert\Delta x\vert<\delta</tex>, по [[#i6|свойству 6]] и по [[#i5|свойству 5]] и замечаниям к ним
<tex>\left\vert{\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)\over\Delta x}-f(x_0)\right\vert=\left\vert{1\over\Delta x}\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))dt\right\vert<{1\over\vert\Delta x\vert}\varepsilon\vert\Delta x\vert=\varepsilon</tex>, откуда и следует проверяемое утверждение.
}}
=== Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций ===
