355
правок
Изменения
→Теорема о среднем. Следствия
=== Теорема о среднем. Следствия ===
{{Теорема
|id=t1
|about=Теорема о среднем
|statement=Пусть <tex>f,g\in R[a,b],\ g\ge0</tex> (или <tex>g\le0</tex>), <tex>m,M\in\mathbb{R},\ m\le f\le M</tex>. Тогда <tex>\exists\mu\in[m,M]: \int_a^bfg=\mu\int_a^bg</tex>.
|proof=Для определенности будем полагать, что <tex>a<b,g\ge0</tex>. Тогда <tex>\int_a^bg\ge0</tex> и <tex>mg\le fg\le Mg</tex>.
Проинтегрируем это неравенство и вынесем постоянные множители за знаки интегралов:
<tex>m\int_a^bg\le\int_a^bfg\le M\int_a^bg</tex>.
Отсюда если <tex>\int_a^bg=0</tex>, то и <tex>\int_a^bfg=0</tex>, а тогда подходит любое <tex>\mu</tex>. Если же <tex>\int_a^bg>0</tex>, то следует положить:
<tex>\mu={\int_a^bfg\over\int_a^bg}</tex>.
Условия на <tex>\mu</tex>, очевидно, выполнены.
}}
{{Теорема
|about=Следствие 1
|statement=Пусть <tex>f\in C[a,b],\ g\in R[a,b],\ g\ge0</tex> (или <tex>g\le0</tex>). Тогда <tex>\exists c\int[a,b]:\ \int_a^bfg=f(c)\int_a^bg</tex>.
|proof=По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса о непрерывных функциях]] существуют <tex>m=\underset{x\in[a,b]}{\min}f(x)</tex> и <tex>M=\underset{x\in[a,b]}{\max}f(x)</tex>.
Подберем <tex>\mu\in[m,M]</tex> из теоремы о среднем. По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Лемма о связности отрезка. Теорема Больцано—Коши о промежуточном значении|теореме Больцано-Коши о промежуточном значении]] найдется <tex>c\in[a,b]:\mu=f(c)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=Следствие 2
|statement=Пусть <tex>f\in R[a,b],\ m,M\in\mathbb{R},\ m\le f\le M</tex>. Тогда <tex>\exists\mu\in[m,M]:\int_a^bf=\mu(b-a)</tex>.
|proof=Для доказательства надо положить <tex>g\equiv1</tex> в теореме о среднем.
}}
{{Теорема
|about=Следствие 3
|statement=Пусть <tex>f\in C[a,b]</tex>. Тогда <tex>\exists c\in[a,b]:\int_a^bf=f(c)(b-a)</tex>.
|proof=Для доказательства надо положить <tex>g\equiv1</tex> в следствии 1.
}}
=== Теорема Барроу ===
