211
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Опишем алгоритм для нахождения лексиграфически минимальной строки <tex>x</tex>, удовлетворяющей формулу <tex>\phi</tex>.
Пусть <tex>n=|\phi|, r=r(|\phi|)</tex>. Разобьём множество бинарных строк длины Изначально область поиска для <tex>nx</tex> на это все строки <tex>r+1n</tex> подотрезок так, чтобы каждый подотрезок содержал не более . Опишем одну итерацию поиска.Разобьём множество на <tex>\frac{2^n}{r+1}</tex> строкподотрезок примерно равной длины. Обозначим концы полученных подотрезков <tex>w_0,...,w_{r+1}</tex>. Пусть теперь <tex>z_i=f(\langle\phi,w_i\rangle)</tex>.
Из леммы 2 мы знаем, что, начиная с некоторого <tex>i</tex>, все пары <tex>\langle\phi, w_i\rangle \in LSAT</tex>. Тогда по сведению <tex>z_j \in S</tex> для всех <tex>j\ge i</tex>.
# <tex>z_i \ne z_j \, \forall i \ne j</tex>. Как было показано выше, если <tex>w_0</tex> или <tex>w_1</tex> лежат в <tex>S</tex>, то все последующие <tex>w_i</tex> тоже лежат в <tex>S</tex>, но тогда <tex>S</tex> содержит не менее <tex>r+1</tex> строку длины не более, чем <tex>q(|\phi|)</tex>, что противоречит условию <tex>|\{x\in S\, |\, |x| \le q(|\phi|)\}| \le r(|\phi|)</tex>. Следовательно, <tex>x\notin[w_0,w_1]</tex>, то есть его можно убрать из рассмотрения.
В обоих случаях мы сузили область поиска как минимум на <tex>\frac 1{r+1}</tex> её размера. Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не останется не более <tex>r+1</tex> строки, которые мы можем проверить за полиномиальное время. Если какая-то из них удовлетворила формулу <tex>\phi</tex>, то <tex>x=min(w_i), w_i</tex> удовлетворяет <tex>\phi</tex>. Иначе, <tex>x</tex> не существует.
Оценим время работы нашего алгоритма. После <tex>k</tex> итераций у нас останется не более <tex>2^n(1-\frac1{r+1})^k</tex> строк. Оценим <tex>k</tex>.
