1632
правки
Изменения
Класс P
,rollbackEdits.php mass rollback
== Определение =={{Определение|definition='''Класс''' <tex>\mathrm{P}</tex> {{---}} класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть :<tex>\mathrm{P} = \bigcup\limits_{p \in poly}DTIME(p(n))</tex><ref>[[Сложностные классы. Вычисления с оракулом]]</ref>.}} Итого, язык <tex>L</tex> лежит в классе <tex>\mathrm{P}</tex> тогда и только тогда, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга <tex>m</tex>, что:# <tex>m</tex> завершает свою работу за полиномиальное время на любых входных данных;# если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \in L</tex>, то она допустит его;# если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \not\in L</tex>, то она не допустит его. == Устойчивость класса P к изменению модели вычислений ==Машина Тьюринга может симулировать другие модели вычислений (например, языки программирования) с не более чем полиномиальным замедлением. Благодаря этому, класс <tex>\mathrm{P}</tex> на этих моделях не становится шире. Согласно [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A7%D1%91%D1%80%D1%87%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0 тезису Чёрча-Тьюринга], любой физически реализуемый алгоритм можно реализовать на машине Тьюринга. Так что класс <tex>\mathrm{P}</tex> устойчив и в обратном преобразовании модели вычислений. == Свойства класса P =={{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи|сведения по Карпу]]. <tex>L \in \mathrm{P}, M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}</tex>.|proof =Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время.<tex> (M \leq L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : w \in M \Leftrightarrow f(w) \in L ) </tex>.Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>M</tex>. <tex>q(w):</tex> if (<tex>p(f(w))</tex>) return true return falseРазрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время, так как композиция полиномов есть полином.}}
{{Теорема|statement =<tex>D \subseteq \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}= Определение \mathrm{P}^D</tex>. В частности, из этого следует, что <tex>\mathrm{P}=\mathrm{P^P}</tex>.|proof =Язык L лежит в классе Понятно, что <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{P}^D</tex> тогда и только тогда. Докажем, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга что <tex>m\mathrm{P}^D \subset \mathrm{P}</tex>. <tex>L \in \mathrm{P}^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P}^A</tex>. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, что:работающий за полиномиальное время <tex>f(n)</tex> и использующий оракул языка <tex>A</tex>.# Пусть <tex>q</tex> {{---}} разрешитель <tex>mA</tex> завершает свою работу , работающий за полиномиальное время на любых входных данных <tex>g(n)</tex>.# если на вход машине Представим себе разрешитель <tex>L</tex>, работающий как <tex>p</tex>, но использующий <tex>q</tex> вместо оракула <tex>mA</tex> подать слово . Его время работы ограничено сверху значением <tex>l f(n) + \sum\in Llimits_{i=1}^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))</tex>, то она допустит его# если что является полиномом (обращений к <tex>q</tex> максимум <tex>f(n)</tex>; на вход машине для <tex>mq</tex> можем подать слово максимум <tex>f(n)</tex> данных, так как больше сгенерировать бы не успели). Значит, <tex>l L \notin \in Lmathrm{P}</tex>, то она не допустит его.}}
{{Теорема
|statement =
Класс <tex>Reg \subset mathrm{P}</tex>замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то: <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}</tex>.
|proof =
Докажем замкнутость замыкания Клини. Остальные доказательства строятся аналогично. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L_1</tex>, работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>L_1^*</tex>. <tex>Reg \subset TSq(w):</tex> <tex>n= |w|</tex> <tex>endPoses = \{0\}</tex> //позиции, где могут заканчиваться слова, принадлежащие <tex>L_1</tex> for (<tex>i = 1\ldots n</tex>) for (<tex>j \subset Pin endPoses</tex>)''Замечание.'' if (<tex>TSp(w[j+1 \ldots i])</tex> ) { if (<tex>i = n</tex>) return true <tex>endPoses</tex> <tex>\cup = \{---i\}</tex> } ограничение и по return falseХудшая оценка времени и работы разрешителя <tex>q</tex> равна <tex>n^2 O(p(w))</tex>, так как в множестве <tex>endPoses</tex> может быть максимум <tex>n</tex> элементов, значит итерироваться по памятимножеству можно за <tex>n</tex>, если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за <tex>O(1)</tex>. Итого, разрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время (так как произведение полиномов есть полином). Значит <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex>.
}}
== Примеры задач и языков из <tex>P</tex> ==
Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:
* определение связности графов;
* вычисление наибольшего общего делителя.;* задача линейного программирования;
* проверка простоты числа.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal, N.Kayal, N.Saxena, "Primes is in P"]</ref>
Но существуют задачи не из <tex>\mathrm{P}</tex>, так как из [[теорема о временной иерархии|теоремы о временной иерархии]] следует, что <tex>\exists L \in \mathrm{EXP}\setminus\mathrm{P}</tex>.
{{Теорема|statement == Задача равенства Класс [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex> и , то есть: <tex>NP\mathrm{Reg} \subset \mathrm{P}</tex> =.|proof =Одним из центральных вопросов теории сложности является вопрос о равенстве классов <tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}</tex> и [[NP]], не разрешенный по сей день. }}
== Ссылки ==
<references/>
[[Категория: Классы сложности]]