355
правок
Изменения
→Формула Тейлора с интегральным остатком
=== Формула Тейлора с интегральным остатком ===
{{Теорема
|about=Формула Тейлора с остатком в интегральной форме
|statement=
Пусть <tex>n\in\mathbb{Z}_+,\ f\in C^{n+1}\langle a,b\rangle,\ x_0,x\in\langle a,b\rangle</tex>. Тогда
<tex>f(x)= \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} {f^{(k)}(x_0)\over k!}(x-x_0)^k+{1\over n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt</tex>.
|proof=
По индукции. База индукции (случай <tex>n=0</tex>) представляет собой [[#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|формулу Ньютона-Лейбница]]:
<tex>f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x f'(t) dt</tex>.
Пусть утверждение верно для некоторого <tex>n-1\in\mathbb{Z}_+</tex>. Докажем его для номера <tex>n</tex>. Для этого проинтегрируем его по частям в остаточном члене:
<tex>\int_{x_0}^x f^{(n)} (t) {(x-t)^{n-1}\over(n-1)!}dt = \int_{x_0}^xf^{(n)} (t) d\left(-{(x-t)^n\over n!}\right) = -\frac{1}{n!}\left[f^{(n)}(t)(x-t)^n\right]_{t=x_0}^x+\frac{1}{n!}\int_{x_0}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt = {f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n+{1\over n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt</tex>.
Первое слагаемое в правой части есть слагаемое с номером <tex>n</tex> в многочлене Тейлора, а второе - новый остаточный член:
<tex>f(x)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}{f^{(k)}(x_0)\over k!}(x-x_0)^k+{f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n+{1\over n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt =\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} {f^{(k)}(x_0)\over k!}(x-x_0)^k+{1\over n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt.</tex>
}}
=== Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей ===
