355
правок
Изменения
→Формула Валлиса
=== Формула Валлиса ===
{{Лемма
|id=l
|statement=Если <tex>m\in\mathbb{Z}_+</tex>, то
<tex>\int_0^{\pi/2}\sin^mxdx={(m-1)!!\over m!!}\cdot\begin{cases} {\pi\over2}, & \text{if }m\text{ is even,} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd.} \end{cases}</tex>
|proof=
Обозначим <tex>J_m=\int_0^{\pi/2}\sin^mtdt</tex>. Легко проверить, что <tex>J_0={\pi\over2},\ J_1=1</tex>. При <tex>m-1\in\mathbb{N}</tex> проинтегрируем по частям:
<tex>J_m=\int_0^{\pi/2}\sin^{m-1}xd(-\cos x)=-\sin^{m-1}x\cos x|_0^{\pi/2}+(m-1)\int_0{\pi/2}\sin^{m-2}x\cos^2xdx=(m-1)(J_{m-2}-J_m)</tex>
(в последнем равенстве мы учли, что двойная подстановка обнулилась, и применили формулу <tex>\cos^2x=1-\sin^2x</tex>). Выражая <tex>J_m</tex>, получаем реккурентное соотношение
<tex>J_m={m-1\over m}J_{m-2}.</tex>
Остается применить его несколько раз и выразить <tex>J_m</tex> через <tex>J_0</tex> или <tex>J_1</tex> в зависимости от четности <tex>m</tex>.
}}
{{Теорема
|about=Формула Валлиса
|statement=
<tex>\pi=\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{1}{n}\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2.</tex>
|proof=
<tex>\forall x\in(0,\frac{\pi}{2})</tex> выполняется неравенство <tex>0<\sin x<1</tex>, поэтому <tex>\forall n\in\mathbb{N}</tex>
<tex>\sin^{2n+1}x<\sin^{2n}x<\sin^{2n-1}x,</tex>
а тогда и
<tex>J_{2n+1}<J_{2n}<J_{2n-1}.</tex>
Подставляя найденные в [[#l|лемме]] значения <tex>J_m</tex>, получаем двойное неравенство
<tex>{(2n)!!\over(2n+1)!!}<{(2n-1)!!\over(2n)!!}\cdot{\pi\over2}<{(2n-2)!!\over(2n-1)!!},</tex>
что равносильно
<tex>\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2{1\over2n+1}<{\pi\over2}<\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2{1\over2n}.</tex>
Обозначим <tex>x_n=\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2{1\over n}</tex>. Двойное неравенство можно преобразовать к виду
<tex>\pi<x_n<{2n+1\over2n}\pi,</tex>
откуда <tex>x_n\to\pi</tex>.
}}
=== Формула Тейлора с интегральным остатком ===
