355
правок
Изменения
→Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши
=== Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши ===
==== Неравенство Йенсена для интегралов ====
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex> выпукла и непрерывна на <tex>\langle A,B\rangle,\ \varphi\in C([a,b]\to\langle A,B\rangle),\ \lambda\in C([a,b]\to[0,+\infty)),\ \int_a^b\lambda=1</tex>. Тогда
<tex>f\left(\int_a^b\lambda\varphi\right)\le \int _a^b\lambda \cdot (f\circ \varphi )</tex>.
|proof=
Обозначим <tex>c=\int_a^b\lambda\varphi,\ E=\{x\in[a,b]:\lambda(x)>0\},\ m=\underset{E}{\inf}\varphi,\ M=\underset{E}{\sup}\varphi</tex>
(<tex>m</tex> и <tex>M</tex> конечны по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]). Если <tex>m=M</tex>, то есть <tex>\varphi</tex> постоянна на <tex>E</tex>, то <tex>c=m</tex> и обе части неравенства Йенсена равны <tex>f(m)</tex>.
Пусть <tex>m<M</tex>. Тогда <tex>c\in(m,M)</tex> и, следовательно, <tex>c\in(A,B)</tex>. Функция <tex>f</tex> имеет в точке <tex>c</tex> опорную прямую; пусть она задается уравнением <tex>y=\alpha x+\beta</tex>. По [[#Опорная прямая|определению опорной прямой]] <tex>f(c)=\alpha c+\beta</tex> и <tex>f(t)\ge\alpha t+\beta\ \forall t\in\langle A,B\rangle</tex>. Поэтому
<tex>f(c)=\alpha c+\beta=\alpha\int_a^b\lambda\varphi+\beta\int_a^b\lambda=\int_a^b\lambda\cdot(\alpha\varphi+\beta)\le\int_a^b\lambda\cdot(f\circ\varphi).</tex>
}}
=== Теорема о формуле трапеций ===
