1632
правки
Изменения
м
== Свободная группа ={{Определение|definition=Рассмотрим конечный алфавит <mathtex>S</tex> и <tex>S'</tex> \Sigma = \{ a_1называются '''эквивалентными''', a_2, \dots a_n \}, \; \Sigmaесли они могут быть превращены друг в друга вставками и удалениями из произвольных мест <tex>aa^{-1} = \{ a_1</tex> и <tex>a^{-1}, a_2^{-1}, \dots a_n^{-1} \} a</mathtex>. <br>Рассмотрим множество строк над алфавитом }} Таким образом, <mathtex> \Sigma \cup \Sigma^{-1} ; \; S = S_1 S_2 \dots S_k , \; символ a \in \Sigma \cup \Sigma^{-1} </mathtex>с операцией конкатенации будет [[группа|группой]] (обратным элементом будет обращение строки с заменой всех символов на «обратные» им). <br>
Таким образом, == Задание группы определяющими соотношениями ==Пусть также имеем алфавит <mathtex> \Sigma = \{ a_1, \cup dots a_n \Sigma^{-1} </mathtex> и набор пар строк <tex>S_1 \sim \omega_1, \dots, S_n \sim \omega_n</tex>. Разрешается где угодно менять <tex>\omega_i</tex> с операцией конкатенации будет группой (обратным элементом будет обращение строки с заменой всех символов на «обратные» им)<tex>S_i</tex> и наоборот.
Рассмотрим строку. Проредуцируем её (будем последовательно удалять запишем таблицу умножения для <mathtex>aa^{-1}G</mathtex> из нее, пока в строке не будет таких последовательностей элементов). Поставим вопрос: ''правда ли, что вне зависимости от последовательности удалений мы будем получать одну и ту же конечную редуцированную строку?''
rollbackEdits.php mass rollback
== Свободная группа ==Рассмотрим конечный алфавит <tex> \Sigma = \{a_1, a_2, \dots a_n \}, \; \Sigma^{-1} = \{ a_1^{-1}, a_2^{-1}, \dots a_n^{-1} \} </tex>. <br>Рассмотрим множество строк над алфавитом <tex> \Sigma \cup \Sigma^{В разработке-1}; \; S = s_1 s_2 \dots s_k , \; s_i \in \Sigma \cup \Sigma^{-1}</tex>. <br>
{{Определение
|definition=
<mathtex>S\Sigma \cup \Sigma^{-1} </mathtex> и называется '''свободной группой, порожденной алфавитом <mathtex>S'\Sigma</mathtex> называются '''эквивалентными.}} Рассмотрим строку. Проредуцируем её (будем последовательно удалять <tex>aa^{-1}</tex> из нее, пока в строке не будет таких последовательностей элементов). Поставим вопрос: ''правда ли, что вне зависимости от последовательности удалений мы будем получать одну и ту же конечную редуцированную строку?'' {{Теорема|id=th5|about=О редуцированной строке|statement=У одной строки существует лишь одна редуцированная строка.|proof=Пусть существуют 2 проредуцированные строки <tex>\omega_1</tex> и <tex>\omega_2</tex>, заданные одной строкой. Тогда существуют цепочки вставок и удалений <br><tex>\omega_1 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2 \dots \rightarrow S_k \rightarrow \omega_2 </tex>, если они где <tex>\rightarrow</tex> − операция вставки или удаления <tex>aa^{-1}</tex>. (Существование цепочки обеспечено тем, что эти строки образованы одним элементом). <br> Среди цепочек рассмотрим такую, у которой минимально <tex>\sum |S_i|</tex> и пусть <tex>S_i</tex> − строка наибольшей длины. <br>Рассмотрим <tex> S_{i - 1} \rightarrow S_i \rightarrow S_{i + 1} </tex>, причем мы знаем, что переходы от <tex>i</tex> к <tex>i - 1</tex> и <tex>i + 1</tex> обеспечены за счет удаления (из-за того, что длина <tex>S_i</tex> максимальна). Эти переходы могут быть превращены друг в друга вставками и удалениями из произвольных мест обеспечены за счет:# Двух непересекающихся пар. Тогда пусть <tex> S_{i - 1} = L_1 L_2 b b^{-1} L_3, \quad S_i = L_1 a a^{-1} L_2 b b^{-1} L_3, \quad S_{i + 1} = L_1 a a^{-1} L_2 L_3 </tex>, где <tex>L_1, L_2, L_3</tex> − некие строки. <br>Таким образом, у нас есть часть цепочки <tex>L_1 L_2 b b^{-1} L_3 \rightarrow L_1 a a^{-1} L_2 b b^{-1} L_3 \rightarrow L_1 a a^{-1} L_2 L_3 </tex>. Заменим эту часть цепочки на <mathtex>aaL_1 L_2 b b^{-1} L_3 \rightarrow L_1 L_2 L_3 \rightarrow L_1 a a^{-1} L_2 L_3 </tex>. Заметим, что крайние значения части цепочки от этого не изменятся, но <tex>\sum |S_i|</tex> уменьшится, а это противоречит нашему предположению о минимальности суммы.# Пар, пересекающихся по двум позициям. Тогда <tex>S_{i-1} = S_{i+1}</tex>, и можно избавиться от <tex>S_{i}</tex> и <tex>S_{i + 1}</mathtex> , и от этого сумма длин слов также уменьшится.# Пар, пересекающихся по одной позиции. Имеем <mathtex>L_1 a L_2 \rightarrow L_1 a a^{-1}aL_2 \rightarrow L_1 a L_2</mathtex>, и в этом случае мы также можем избавиться от <tex>S_{i}</tex> и <tex>S_{i + 1}</tex>, что также уменьшит итоговую сумму длин строк.Таким образом, мы пришли к противоречию во всех случаях, а это значит, что мы доказали теорему.
}}
{{Определение
|definition=
Выражения <mathtex> S_1 \Sigma sim \cup omega_1, \dots, S_n \sim \Sigma^{-1} omega_n</mathtex> называется называются '''свободной группой, порожденной алфавитом <math>\Sigma</math>определяющими соотношениями'''.
}}
{{Утверждение
|about=без доказательства
|statement=
Задача проверки эквивалентности строк при заданных определяющих соотношениях алгоритмически неразрешима.
}}
==Пример==
Пусть группа <tex>G</tex> задана соотношениями <tex>G=\{a</tex>, <tex>b|aba=b</tex>, <tex>bab=a\}</tex>. Докажем что:
#<tex>a^2=b^2</tex>
#<tex>a^4=b^4=e</tex>
#<tex>|G|=8</tex>
'''Доказательство:'''
1) <tex>aba=b \Rightarrow a(bab)=bb</tex> подставляем из второго условия группы и получаем: <tex> aa=bb \Rightarrow a^2=b^2</tex>
2) <tex>aba=b \Rightarrow ba=a^{-1}b</tex>, <tex>bab=a \Rightarrow ab=b^{-1}a</tex>, перемножаем, получаем:<tex>abba=e</tex>, но из доказанного ранее <tex>a^2=b^2 \Rightarrow a^4=e</tex> и <tex>b^4=e</tex>
3)Рассмотрим все последовательности из <tex>3</tex> элементов: их <tex>8</tex>. Заметим, что есть последовательности из трех одинаковых элементов: <tex>(ааа</tex>, <tex>bbb)</tex>, из <tex>2</tex> подряд идущих одинаковых и одного отличного<tex>(aab</tex>, <tex>bba</tex>, <tex>baa</tex>, <tex>abb)</tex> и <tex>aba</tex>, <tex>bab</tex>. Но <tex>b^2=a^2</tex>, поэтому <tex>aab=baa=b^3</tex>, <tex>bba=abb=a^3</tex>, а <tex>aba=b</tex>, <tex>bab=a</tex>, поэтому все тройки равны либо третьей либо первой степени <tex>a</tex> или <tex>b</tex>. Из таблицы умножения(приведена далее) видно, что произведения приведенной далее видно, что произведение последовательности длинное три(те <tex>a^3</tex>,<tex>b^3</tex>, <tex>a</tex>, <tex>b</tex>) не выходит за ее пределы. Те последовательность большей длинны по правилам умножения, задания <tex>G</tex> и доказанных равенств будет сокращаться до последовательности длины <tex><=2</tex> или <tex>a^3</tex> или <tex>b^3 \Rightarrow |G|=8</tex>
{| border="2" cellpadding="8" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
!style="background:#efefef;"| <big>ab</big>
!style="background:#efefef;"| <big>ba</big>
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
!style="background:#efefef;"| <big>aaa</big>
!style="background:#efefef;"| <big>bbb</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>ab</big> || <big>ba</big> || <big>aa</big> || <big>aaa</big> || <big>bbb</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a
| <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>ab</big> || <big>bbb</big> || <big>b</big> || <big>aaa</big> || <big>e</big> || <big>ba</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>b
| <big>b</big> || <big>ba</big> || <big>aa</big> || <big>a</big> || <big>ab</big> || <big>bbb</big> || <big>ab</big> || <big>e</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>ab
| <big>ab</big> || <big>b</big> || <big>aaa</big> || <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>ba</big> || <big>bbb</big> || <big>a</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>ba</big>
| <big>ba</big> || <big>bbb</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>bb</big> || <big>ab</big> || <big>b</big> || <big>aaa</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
| <big>aa</big> || <big>aaa</big> || <big>bbb</big> || <big>ba</big> || <big>ab</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>aaa</big>
| <big>aaa</big> || <big>e</big> || <big>ba</big> || <big>b</big> || <big>bbb</big> || <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>ab</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>bbb</big>
| <big>bbb</big> || <big>ab</big> || <big>e</big> || <big>aaa</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>ba</big> || <big>bb</big>
|}
[[Категория:Теория групп]]
