Изменения
Нет описания правки
Для любого вещественного числа <tex> \epsilon</tex> и натурального <tex>N</tex> существует такое целое число <tex> a </tex> и натуральное число <tex> b </tex>, что <tex>b\leqslant N</tex> и <tex> ~|b\epsilon - a|\leqslant \frac{1}{N+1}</tex>
|proof=
Рассмотрим числа 0 и 1, а также дробные части чисел <tex>\epsilon, 2\epsilon, \cdots, N\epsilon</tex>. Если все расстояния между этими <tex>N+2</tex> числами было больше <tex>\frac{1}{N+1}</tex>, то приходим к противоречию. Значит какое-то из расстояний не превосходит <tex>\frac{1}{N+1}</tex>.
Если <tex>~|{b2\epsilon} - {b1\epsilon}|\leqslant \frac{1}{N+1}</tex>, где <tex>1\leqslant b1 < b2 \leqslant N</tex>, то <tex>~|(b2\epsilon-[b2\epsilon]) - (b1\epsilon-[b1\epsilon])| \leqslant \frac{1}{N+1}</tex>. Так что берём <tex>b = b2-b1</tex> и <tex>a = [b2\epsilon]-[b1\epsilon] </tex>. Два других случая очевидны.
}}
