Изменения
Новая страница: «'''Теорема''': любая подгруппа <math>H</math> циклической группы <math>G</math> сама является циклическо…»
'''Теорема''': любая подгруппа <math>H</math> циклической группы <math>G</math> сама является циклической группой.
=== Доказательство ===
Все элементы группы <math>G</math> с образующей <math>a</math> представимы в виде <math>a^n</math>. Предположим, что <math>H</math> нетривиальна. Возьмем наименьшее ненулевое <math>n</math>, что <math>a^n\in H</math> и положим <math>a^n=b</math>. Пусть теперь есть некоторое <math>c\in H</math>. Раз <math>c\in H\subseteq G</math>, то <math>c=a^m</math> для некоторого <math>m</math>. Имеем <math>m=k\cdot n+r</math>, где <math>r<n</math>. Вместе с <math>b</math> и <math>c</math> H содержит и <math>b^{-k}\cdot c=a^r</math>. Поэтому если <math>r\neq 0</math>, то <math>n</math> - не минимальное ненулевое число, что <math>a^n\in H</math>. Таким образом, необходимо <math>r=0</math>. Значит, все элементы <math>H</math> представимы в виде <math>b^m</math> для некоторого m, что и означает, что <math>H</math> - циклическая группа.
=== Доказательство ===
Все элементы группы <math>G</math> с образующей <math>a</math> представимы в виде <math>a^n</math>. Предположим, что <math>H</math> нетривиальна. Возьмем наименьшее ненулевое <math>n</math>, что <math>a^n\in H</math> и положим <math>a^n=b</math>. Пусть теперь есть некоторое <math>c\in H</math>. Раз <math>c\in H\subseteq G</math>, то <math>c=a^m</math> для некоторого <math>m</math>. Имеем <math>m=k\cdot n+r</math>, где <math>r<n</math>. Вместе с <math>b</math> и <math>c</math> H содержит и <math>b^{-k}\cdot c=a^r</math>. Поэтому если <math>r\neq 0</math>, то <math>n</math> - не минимальное ненулевое число, что <math>a^n\in H</math>. Таким образом, необходимо <math>r=0</math>. Значит, все элементы <math>H</math> представимы в виде <math>b^m</math> для некоторого m, что и означает, что <math>H</math> - циклическая группа.
