Изменения

{{Определение|definition== Порядок '''Порядком''' элемента <tex>a</tex> [[группа|группы ]] <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n ==e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен. }}

'''Порядком''' === Примеры ===* Порядок любого ненулевого элемента <math>a</math> группы <math>G</math> называется наименьшее <math>n\in\mathbb{N}</math>, что <math>a^n = e</math>. Если такого <math>n</math> не существует, то говорят, что порядок <math>a</math> бесконечен. В конечной в группе у всех элементов конечный порядокцелых чисел по сложению равен бесконечности. Действительно, необходимо при некоторых * Порядок элемента <mathtex>n,m\in\mathbboverline{N2},\, n>m</math> совпадение степеней <math>a</mathtex>(иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок вычетов по модулю <mathtex>a4</mathtex> не больше конечен и равен двум, поскольку <mathtex>n-m</math>: <math>a^{n-m}=a^n2+2 \cdot a^{-m}=a^mequiv 0 \cdot a^{-m}=epmod 4</mathtex>.

== Конечно порожденные группы =Свойства ==={{Утверждение|statement=В [[конечная группа|конечной группе]] у всех элементов конечный порядок.|proof=Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex> (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.}}{{Определение|definition=<tex>p</tex>-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа <tex>p</tex>. Порядок разных элементов может быть разным.}}

Пусть <tex>S</tex> - подмножество элементов группы <tex>G</tex>. Обозначим через <tex>\langle S\rangle</tex> наименьшую подгруппу, содержащую <tex>S</tex>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <tex>S</tex> и их обратных. Если <tex>\langle S\rangle = G</tex>, то говорят, что <tex>S</tex> является '''системой образующих''' для <tex>G</tex>. <tex>G</tex> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих. == Циклические группы Примеры === * Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: <tex>G</tex> называется '''циклической''', если у нее существует система образующих, состоящая из одного элемента <tex>a</tex>. Тогда все элементы группы имеют вид <tex>a^n,\,n\in\mathbb{Z}</tex>. Любая циклическая группа аблева, т.к. степени одного и того же элемента коммутируют между собой. Примерами циклических групп являются группы <tex>\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Вообще, любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/np\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>. === Классификации циклических групп === '''Теорема''': любая конечная циклическая * [[Циклическая группа изоморфна ]] порядка <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>. Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен. Пусть порядок <tex>a</tex> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> - изоморфизм. Очевидно, что <tex>\phi</tex> - гомоморфизм: <tex>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</tex>. По определению циклической группы <tex>\phi</tex> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <tex>n>m,\,a^n=a^m</tex>, тогда <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>, т.е. порядок <tex>a</tex> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <tex>\phi</tex> - биекция, а значит, и изоморфизм. Пусть теперь порядок <tex>a</tex> конечен и равен <tex>r</tex>. Рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> - гомоморфизм. Пусть <tex>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c\equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z},\, k\geq 0</tex>. Тогда: <tex>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m</tex> <tex>\phi</tex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <tex>a^n=a^m,\, n<m<r</tex>, тогда<tex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot ap^{-n}=e</tex>. Но <tex>r>m-n>0</tex>, т.е. <tex>r</tex> - не минимальная степень <tex>a</tex>, равная <tex>e</tex>. Противоречие. Значит, <tex>\phi</tex> - биекция, следовательно, и изоморфизм. == p-группы == Пусть <tex>p</tex> - простое число. Тогда если <tex>0<a<p</tex>, то <tex>a</tex> и <tex>p</tex> взаимно просты. Это означает, что выполнено соотношение Безу: <tex>u\cdot p+v\cdot a=1</tex> для некоторых целых <tex>u,v</tex>. При этом можно считать, что <tex>0<v<p</tex>, т.к. в противном случае можно прибавить и вычесть <tex>a\cdot p</tex>, отчего <tex>v</tex> увеличится(уменьшится) на <tex>p</tex>, а <tex>u</tex> уменьшится(увеличится) на a. Иными словами, <tex>\forall a\in\mathbb{N},\,0<a<p : \exists v\in\mathbb{N},\,0<v<p : a\cdot v\equiv 1\mod p</tex>. Это означает, что числа от 1 до <tex>p</tex> вместе с операцией умножения по модулю <tex>p</tex> образуют группу <tex>\mathbb{Z}_p</tex>.