Изменения

'''Доказательство''': Пусть <mathtex>G</mathtex> - конечная группа, а <mathtex>H</mathtex> - ее подгруппа. Любой элемент <mathtex>G</mathtex> входит в некоторый смежный класс по <mathtex>H</mathtex> (<mathtex>a</mathtex> входит в <mathtex>aH</mathtex>). Мощность каждого класса равна <mathtex>\vert H\vert</mathtex>, т.к. отображение <mathtex>x\rightarrow a\cdot x биективно</mathtex>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <mathtex>\vert G\vert</mathtex> делится на <mathtex>\vert H\vert</mathtex>.

'''Следствие:''' <mathtex>a^{\vert G\vert}=e</mathtex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <mathtex>H=\langle a\rangle</mathtex>: ее порядок равен порядку элемента <mathtex>a</mathtex>, но <mathtex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</mathtex>.

'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <mathtex>G</mathtex> группу <mathtex>\mathbb{Z}_p</mathtex>, получаем при <mathtex>a<p</mathtex>:

<mathtex>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</mathtex>