Пусть:
# * <tex> L_p </tex> и <tex> R_p </tex> - левая и правая границы диапазона ответов в суффиксном массиве <tex> array </tex>.
У любого суффикса в пределах этого диапазона есть префикс, который полностью совпадает с образцом.
# * <tex> L </tex> - левая граница диапазона поиска (изначально равна 0).# * <tex> R </tex> - правая граница диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>).# * <tex> M = (L + R) / 2 </tex>.
# * <tex> l = lcp(array[L], p) </tex>.# * <tex> r = lcp(array[R], p) </tex>.
В самом начале просто посчитаем <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за линейное время, а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить за <tex> O(1) </tex>.
# * <tex> m_l = lcp(array[L], array[M]) </tex>.# * <tex> m_r = lcp(array[M], array[R]) </tex>.
Подсчет <tex> m_l </tex> и <tex> m_r </tex> можно производить за <tex> O(1) </tex>, если применять [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет хотя бы <tex> m_l </tex> совпадений в префиксах. Аналогично любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет хотя бы <tex> m_r </tex> совпадений в префиксах.
<tex> L_p </tex> ищется при помощи бинарного поиска по суффиксному массиву <tex> array </tex>. На каждом шаге поиска нам надо определять, на каком отрезке <tex> [L, M] </tex> или <tex> [M, R] </tex> надо продолжать поиск границы <tex> L_p </tex>. Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать <tex> l </tex> и <tex> r </tex>. Если <tex> l \ge r </tex>, то возможно одно из трех:
* 1. # <tex> m_l = l </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [L, M] </tex> есть хотя бы <tex> l </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> l </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> l + k </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> r = l + k </tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> l = l + k </tex>.<br>* 2. # <tex> m_l > l </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [M, R] </tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а <tex> L = M </tex>. <br>* 3. # <tex> m_l < l </tex>. Это означает, что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> L </tex> и <tex> M </tex>, то есть <tex> R = M </tex>, а новое значение <tex> r = m_l </tex>. <br> Если <tex> l < r </tex>, то действия аналогичны: <br>* 1. <tex> m_r = r </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [M, R] </tex> есть хотя бы <tex> r </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> r </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> r + k </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> r = r + k </tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> l = r + k </tex>. <br>* 2. <tex> m_r > r </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с правого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [L, M] </tex>. Значение <tex> r </tex> при этом не меняется, а <tex> R = M </tex>. <br>* 3. <tex> m_r < r </tex>. Это означает, что совпадений у суффикса с правого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> M </tex> и <tex> R </tex>, то есть <tex> L = M </tex>, а новое значение <tex> l = m_r </tex>. <br> Бинарный поиск будет работать до тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> L_p = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазона ответов <tex> R_p </tex>. <br> Рассуждения при поиске <tex> R_p </tex> аналогичны, только нужно не забыть изменить границы поиска на изначальные <tex> L = 0 </tex> и <tex> R = |s| - 1 </tex>. <br>
Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких <tex> lcp </tex> между собой(каждое за <tex> O(1) </tex>), а если дойдет до сравнения символов, то любой символ <tex> p </tex> сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex> max(l, r) </tex>, а значит никогда не возвращаемся назад). В самом начале мы посчитали <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за <tex> O(p) </tex>. В итоге получаем сложность алгоритма <tex> O(p + log(s)) </tex>. Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать <tex> lcp </tex> для двух любых суффиксов <tex> array </tex> за <tex> O(1) </tex>.
Условные обозначения:
* 1. Черная вертикальная линия на рисунке обозначает <tex> lcp </tex> от <tex> i </tex>-го суффикса суффиксного массива <tex> array </tex> и образца <tex> p </tex>. Чем линия длиннее, тем совпадений символов больше. * 2. <tex> L</tex>, <tex> M </tex> и <tex> R </tex> {{-- -}} то же самое, что в алгоритме. Кроме того, самая левая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> l </tex>, аналогично, самая правая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> r </tex>. Переменная <tex> m_l </tex> - это <tex> lcp </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [L, M] </tex>. Переменная <tex> m_r </tex> - это <tex> lcp </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [M, R] </tex>.* 3. Серым цветом выделен <tex> lcp </tex> в суффиксном массиве на рассматриваемом промежутке.
Простой пример для образца <tex>aaa</tex> на отсортированных суффиксах строки <tex>aaaaaa</tex>.
