221
правка
Изменения
Нет описания правки
Примером группы является множество действительных чисел <tex>\mathbb{R}</tex> c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).
{{Определение
|definition=
}}
Примером абелевой(аддитивной) группы является группа вещественных чисел с операцией сложения. Примером неабелевой {{---}} группа обратимых матриц с операцией обычного матричного умножения.
{{Определение
|definition=
Группа называется '''конечной''', если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы <tex>G</tex> называют порядком группы и обозначают <tex>\vert G\vert</tex>.
}}
== Примеры групп ==
=== Группа целых чисел <tex>\mathbb{Z}</tex> ===
Множество целых чисел с обычной операцией сложения образуют аддитивную группу. Нейтральный элемент {{---}} 0, обратным к <tex>a</tex> является <tex>-a</tex>.
=== Группа остатков по модулю <tex>n</tex> {{---}} <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> ===
Множество целых чисел от нуля до <tex>n-1</tex> включительно с операцией сложения по модулю <tex>n</tex> образует абелеву группу.
Пишут
:<tex>3+4\equiv 2 \mod 5</tex>.
Нейтральным элементом является 0, обратным к <tex>a</tex> является <tex>n-a</tex>.
== Примеры неабелевых групп ==
=== Группа движений плоскости <tex>Isom(\mathbb{R}^2)</tex> ===
Рассмотрим плоскость <tex>\mathbb{R}^2</tex> с введенной на ней метрикой <tex>\rho</tex>. Биективное отображение <tex>\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2</tex> называется движением (изометрией), если оно сохраняет расстояния:
:<tex>\forall x,y\in\mathbb{R}^2 : \rho(\phi(x),\phi(y)) = \rho(x,y)</tex>.
Множество всех движений плоскости с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент {{---}} тождественное отображение. Обратный {{---}} обратное отображение.
=== Группа симметрий фигуры ===
Если на плоскости (или вообще в любом [[метрическое пространство|метрическом пространстве]]) рассмотреть множество точек <tex>F</tex>, то можно выделить подмножество <tex>G</tex> всех движений данного пространства, переводящих <tex>F</tex> в себя. <tex>G</tex> вместе с операцией композиции отображений образуют группу симметрий фигуры <tex>F</tex>.
=== Группа перестановок <tex>S_n</tex> (симметрическая группа степени <tex>n</tex>) ===
Рассмотрим множество <tex>S_n</tex> всех биекций множества <tex>A=\lbrace 1,2,...,n\rbrace</tex> в себя. Вместе с операцией композиции отображений оно образует группу перестановок <tex>S_n</tex>. Порядок <tex>S_n</tex> равен <tex>n!</tex>.
Таким образом, группа перестановок является конечной неабелевой группой.
Для перестановки вводят понятие знака (четности) перестановки. Перестановка называется четной (знак +1), если осуществляется четным числом транспозиций, и нечетной(знак -1) в противном случае. При композиции перестановок их знаки перемножаются.
=== Группа четных перестановок <tex>A_n</tex> (знакопеременная группа степени <tex>n</tex>) ===
Образована всеми перестановками со знаком +1. Композиция не выводит из множества, т.к. при композиции знаки перестановок перемножаются.
=== Группа невырожденных матриц(общая линейная группа) <tex>n\times n</tex> - <tex>GL_n (GL(n), GL(\mathbb{K},n))</tex> ===
Невырожденные матрицы над [[поле|полем]] <tex>\mathbb{K}</tex> (<tex>\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Z}_p...</tex>) вместе с операцией матричного умножения образуют группу. Нейтральным элементом является единичная матрица, обратным {{---}} обратная матрица.
=== Группа матриц <tex>n\times n</tex> с единичным определителем (специальная линейная группа) - <tex>SL_n (SL(n), SL(\mathbb{K},n))</tex> ===
Поскольку при перемножении матриц перемножаются и их определители, матричное умножение не выводит из множества матриц с единичным определителем, и это множество образует группу (учитывая существование единичных и обратных матриц). Нейтральный элемент {{---}} единичная матрица, обратный {{---}} обратная матрица.
[[Категория: Теория групп]]
