355
правок
Изменения
→Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка
=== Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка ===
{{Теорема
|statement=
Если ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, то <tex>\forall m\in\mathbb{N}</tex> ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> тоже сходится и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k.</tex>
Обратно, если <tex>\exists m\in\mathbb{N}</tex> ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, то сходится и ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>.
|proof=
<tex>\forall n>m\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{n}{\sum}}a_k.</tex>
При <tex>n\to\infty</tex> предел обеих частей равенства существует или нет одновременно, то есть сходимость рядов <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> и <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> равносильна. Равенство в условии получается переходом к пределу.
}}
{{Теорема
|statement=
Если ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, то <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}0</tex>. Другими словами, остаток сходящегося ряда стремится к нулю.
|proof=
<tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=0.</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Если ряды <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>, <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex> сходятся, <tex>\alpha,\beta\in\mathbb{R}</tex>, то ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)</tex> сходится и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k+\beta\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k.</tex>
|proof=
Для доказательства надо перейти к пределу в равенстве для частичных сумм
<tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k+\beta\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k.</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Если <tex>\{z_k\}</tex> - последовательность комплексных чисел, <tex>x_k=\Re z_k,\ y_k=\Im z_k</tex>, то сходимость ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k</tex> равносильна одновременной сходимости рядов <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k</tex> и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}y_k</tex>. При этом <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k+i\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}y_k</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Если ряды <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k,\ \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex> с вещественными числами имеют суммы в <tex>\overline{\mathbb{R}},\ a_k\le b_k \forall k\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\le \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex>.
|proof=
Для доказательства надо перейти к пределу в неравенстве для частичных сумм.
}}
=== Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши ===
