Изменения
Новая страница: «{{В разработке}} {{Утверждение |author= Лемма Римана-Лебега |statement= Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда <tex>a...»
{{В разработке}}
{{Утверждение
|author= Лемма Римана-Лебега
|statement= Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>, при <tex>n \to \infty</tex>
|proof= <tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>. Обозначим <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex> в <tex>L_1</tex>. Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то по свойству тригонометрических функций выполняется: <tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)\cos{nx}dx = 0</tex>,
<tex>\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.
Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>. По обобщенной теореме Вейерштрасса <tex>E_{n-1}(f)_1 \to 0</tex>, следовательно <tex>a_n(f) \to 0</tex>. Для <tex>b_n</tex> доказывается аналогично.
}}
{{Утверждение
|author= Лемма Римана-Лебега
|statement= Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>, при <tex>n \to \infty</tex>
|proof= <tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>. Обозначим <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex> в <tex>L_1</tex>. Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то по свойству тригонометрических функций выполняется: <tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)\cos{nx}dx = 0</tex>,
<tex>\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.
Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>. По обобщенной теореме Вейерштрасса <tex>E_{n-1}(f)_1 \to 0</tex>, следовательно <tex>a_n(f) \to 0</tex>. Для <tex>b_n</tex> доказывается аналогично.
}}
