Изменения

'''Целочисленный двоичный поиск (бин. бинарный поиск)''' (англ. <i>binary search</i>) {{- --}} алгоритм поиска аргумента для заданного значения монотонной целочисленной функцииобъекта по заданному признаку в множестве объектов, упорядоченных по тому же самому признаку, работающий за логарифмическое время. {{Задача|definition = Пусть нам дан упорядоченный массив, состоящий только из целочисленных элементов. Требуется найти позицию, на которой находится заданный элемент.}}

== Формулировка задачи ==Пусть нам дана монотонная функция, значения которой целые числа. Нам необходимо найти место, где функция будет равна заданному значению[[Файл:shcemebinsearch.png|320px|thumb|right|Схема бинарного поиска]]

== Выбор границы Принцип работы==Нам должны быть заданы границыДвоичный поиск заключается в том, что на которых каждом шаге множество объектов делится на две части и в работе остаётся та часть множества, где находится искомый объект. Или же, в зависимости от постановки задачи, мы можем остановить процесс, когда мы ищем получим первый или же последний индекс заданного значения <b>х<вхождения элемента. Последнее условие {{---}} это левосторонний/b>правосторонний двоичный поиск.

Когда мы ищем правосторонним бин. поискомДля простоты дальнейших определений будем считать, то он возвращает индекс самого правого вхождения заданного значения что <btex>хa[-1] = -\infty</btex>.и что <brtex>Когда же поиск левосторонний, возвращается индекс самого левого вхождения заданного значения <b>хa[n] = +\infty</btex>.(массив нумеруется с <brtex>Это разделение помогает находить количество подряд идущих равных значений.<br><b><i>Например:0</i></b> <br>Задан отсортированный массив [1, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 8, 9, 11] <brtex>Правосторонний поиск двойки выдаст в результате 5, в то время как левосторонний выдаст 2. <br>От сюда следует, что количество подряд идущих двоек равно длине отрезка [2;5] = 4. <br>Если искомого элемента нету, то правосторонний поиск выдаст минимальный элемент, больший искомого, а левосторонний наоборот, максимальный элемент, меньший исходного).

{{Определение|definition='''Правосторонний бинарный поиск''' (англ. <i>rightside binary search</i>) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \max\limits_{i \in [-1,n-1]} \{i \mid a[i] \leqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</tex> {{---}} искомый ключ}} {{Определение|definition= Алгоритм правостороннего'''Левосторонний бинарный поиск''' (англ. <i>leftside binary search</i>) {{---}} бинарный поиск, с помощью которого мы ищем <tex> \min\limits_{i \in [0,n]}\{i \mid a[i] \geqslant x\} </tex>, где <tex>a</tex> {{---}} массив, а <tex>x</левостороннего tex> {{---}} искомый ключ}} Использовав эти два вида двоичного поиска , мы можем найти отрезок позиций <tex>[l,r]</tex> таких, что <tex>\forall i \in [l,r] : a[i] = x</tex> и <tex> \forall i \notin [l,r] : a[i] \neq x </tex> ===Пример:===  Задан отсортированный массив <tex>[1, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 8, 9, 11], x = 2</tex>. Правосторонний поиск двойки выдаст в результате <tex>4</tex>, в то время как левосторонний выдаст <tex>1</tex> (нумерация с нуля). Отсюда следует, что количество подряд идущих двоек равно длине отрезка <tex>[Файл:cheme.jpg]1;4]<br/tex>, то есть <tex>4</tex>. Если искомого элемента в массиве нет, то правосторонний поиск выдаст максимальный элемент, меньший искомого, а левосторонний наоборот, минимальный элемент, больший искомого. == Алгоритм двоичного поиска ==

В случае равенства возвращать его, а если Если искомое больше(в случае правостороннего {{--- }} не меньше), чем элемент сравнения,то сужаем область поиска так, чтобы новая левая граница была равна индексу середины предыдущей области. В противном случае присваиваем это значение правой границе. Проделываем эту процедуру до тех пор, пока правая граница больше левой более чем на <tex>1, или же пока мы не найдём искомый индекс</tex>.

'''int''' binSearch('''int[]''' a, '''int''' key): <font color="green">// Запускаем бинарный поиск</font> '''int''' l := 0; -1 <font color="green">// l , r {{--- }} левая границаи правая границы</font> '''int''' r = len(a) '''while''' l < r - 1 <font color="green">// Запускаем цикл</font> m = (l + r) / 2 <font color="green">// m {{---}} середина области поиска</font> '''if''' a[m] < key l = m '''else''' r = m <font color="green">// Сужение границ</font> '''return''' r  Инвариант цикла:правый индекс не меньше искомого элемента, а левый {{---}} строго меньше (т.к значение <tex>m</tex> присваевается левой границе <tex>l</tex>, только тогда, когда <tex>a[m]</tex> строго меньше искомого элемента <tex>key</tex>), тогда если <tex>r = n l + 1; </tex> (что эквивалентно <tex>r-l=1</ tex>), то понятно, что <tex>r </tex> {{--- правая граница}} самое левое вхождение искомого элемента (так как предыдущие элементы уже меньше искомого элемента)  В случае правостороннего поиска изменится знак сравнения при сужении границ на <tex>a[m] \leqslant k</tex>, а возвращаемой переменной станет <tex>l</tex>. == Несколько слов об эвристиках =='''Эвристика с завершением поиска, при досрочном нахождении искомого элемента'''  Заметим, что если нам необходимо просто проверить наличие элемента в упорядоченном множестве, то можно использовать любой из правостороннего и левостороннего поиска. При этом будем на каждой итерации проверять "не попали ли мы в элемент, равный искомому", и в случае попадания заканчивать поиск.  '''Эвристика с запоминанием ответа на предыдущий запрос''' Пусть дан отсортированный массив чисел, упорядоченных по неубыванию. Также пусть запросы приходят в таком порядке, что каждый следующий не меньше, чем предыдущий. Для ответа на запрос будем использовать левосторонний двоичный поиск. При этом после того как обработался первый запрос, запомним чему равно <tex>l</tex>, запишем его в переменную <tex>startL</tex>. Когда будем обрабатывать следующий запрос, то проинициализируем левую границу как <tex>startL</tex>. Заметим, что все элементы, которые лежат не правее <tex>startL</tex>, строго меньше текущего искомого элемента, так как они меньше предыдущего запроса, а значит и меньше текущего. Значит инвариант цикла выполнен.  == Применение двоичного поиска на некоторых неотсортированных массивах == {{Задача|definition = Пусть отсортированный по возрастанию массив из <tex>n</tex> элементов <tex>a[0 \ldots n - 1]</tex>, все элементы которого различны, был циклически сдвинут, требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.}} Если массив, отсортированный по возрастанию, был циклически сдвинут, тогда полученный массив состоит из двух отсортированных частей. Используем двоичный поиск, чтобы найти индекс последнего элемента левой части массива. Для этого в реализации двоичного поиска заменим условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[n-1]</tex>, тогда в <tex>l</tex> будет содержаться искомый индекс:<code> '''int''' l = -1 '''int''' r = len(a) '''while (''' l < r - 1) <font color="green">//С помощью бинарного поиска найдем максимум на массиве</ запускаем цикл beginfont> m := (l + r) div / 2; <font color="green">// m {{--- }} середина области поиска</font> '''if (''' a[m] > a[n - 1] <font color="green">// Сужение границ< k) then /font> l := m '''else ''' r := m; '''int''' x = l <font color="green">// x {{---}} искомый индекс.</font></code>Затем воспользуемся двоичным поиском искомого элемента <tex>key</tex>, запустив его на той части массива, в которой он находится: на <tex>[0, x]</tex> или на <tex>[x + 1, n - 1]</tex>. Для определения нужной части массива сравним <tex>key</ сужение границtex> с первым и с последним элементами массива: end;<code> '''if (''' key > a[0] <font color="green">// Если key в левой части</font> l = -1 r= x + 1 '''if''' key < a[n] <font color="green">// Если key в правой части</font> l = kx r = n</code>Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(2\log n)=O(\log n) then result </tex>.  {{Задача|definition = Массив образован путем приписывания в конец массива, отсортированного по возрастанию, массива, отсортированного по убыванию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.}} Найдем индекс последнего элемента массива, отсортированного по возрастанию, воспользовавшись [[Троичный_поиск|троичным поиском]], затем запустим левосторонний двоичный поиск для каждого массива отдельно:= r для элементов <tex>[0 \ldots x]</tex> и для элементов <tex>[x+1 \ldots n]</tex>, где в качестве <tex>x</ выводим tex> мы возьмем индекс максимума, найденный троичным поиском. Для массива, отсортированного по убыванию используем двоичный поиск, изменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > key</tex>. Время выполнения алгоритма {{---}} <tex> O(\log n)</tex> (так как и бинарный поиск, и [[тернарный поиск]] работают за логарифмическое время с точностью до константы).  {{Задача|definition = Два отсортированных по возрастанию массива записаны один в конец другого. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.}} Мы имеем массив, образованный из двух отсортированных подмассивов, записанных один в конец другого. Запустить сразу бинарный или тернарный поиски на таком массиве нельзя, так как массив не будет обязательно отсортированным и он не будет иметь <tex>1</tex> точку экстремума. Поэтому попробуем найти индекс последнего элемента левого массива, чтобы потом запустить бинарный поиск два раза на отсортированных массивах. Докажем, что найти этот индексневозможно быстрее, чем за <tex>\Omega (n)</tex>. Возьмем возрастающий массив целых чисел, начиная с <tex>1</tex>. Он удовлетворяет условию задачи. Вставим в него <tex>0</tex> на любую позицию. Такой массив по-прежнему будет удовлетворять условию задачи. Следовательно, из-за того, что <tex>0</tex> может находиться на любой позиции, мы можем его найти лишь за <tex>\Omega (n)</tex>.  {{Задача|definition = Массив образован путем циклического сдвига массива, образованного приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированного по возрастанию. Требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.}} else result После циклического сдвига мы получим массив <tex>a[0 \ldots n-1]</tex>, образованный из трех частей:= отсортированных по возрастанию-убыванию-возрастанию (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>) или по убыванию-возрастанию-убыванию (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>). С помощью двоичного поиска найдем индексы максимального и минимального элементов массива, заменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[m - 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>l</tex>) или на <tex>a[m] > a[m + 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>r</tex>) соответственно. Фактически, при поиске индексов минимума и максимума мы проверяем, возрастает или убывает массив на промежутке <tex> [ m -1; m ] </tex>, а затем, в зависимости от того, что мы ищем, мы либо поднимаемся, либо опускаемся по этому промежутку возрастания (убывания). Однако при таком решении могут быть неправильно найдены значения минимума или максимума. Рассмотрим случаи, когда они будут неправильно найдены. Определить, какого вида наш массив возможно, сравнив первые два элемента массива. Рассмотрим отдельно ситуацию, если наш массив вида возрастание-убывание-возрастание (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </ tex>). В таком случае может быть неправильно найдено значение максимума, если последний промежуток возрастания занимает больше половины массива (мы будем подниматься по последнему промежутку возрастания вплоть до конца массива и за максимум будет принят последний элемент массива, что не всегда верно). Тогда, если последний элемент массива меньше первого, нужно еще раз запустить поиск максимума, но уже на промежутке от <tex>0</tex> до <tex>min</tex>, потому что истинный максимум будет находиться в первой точке экстремума, которую мы таким образом и найдем. В случае же убывание-возрастание-убывание (<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>) может быть, что будет неправильно найден возвращаем минимум. Найдем правильный минимум аналогично поиску максимума в предыдущем абзаце. Затем, в зависимости от типа нашего массива, запустим бинарный поиск три раза на каждом промежутке. Время выполнения данного алгоритма {{---}} <tex>O(6\log n)=O(\log n)</tex>. == Переполнение индекса середины ==В некоторых языках программирования присвоение <code>m = (l + r) / 2</code> приводит к переполнению. Вместо этого рекомендуется использовать <code>m = l + (r - l) / 2;</code> или эквивалентные выражения.<ref>https://ai.googleblog.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html</ref> == См. также ==* [[Вещественный_двоичный_поиск|Вещественный двоичный поиск]]* [[Троичный_поиск|Троичный поиск]]* [[Поиск_с_помощью_золотого_сечения|Поиск с помощью золотого сечения]]* [[Интерполяционный_поиск|Интерполяционный поиск]] == Источники информации ==* Д. Кнут {{---}} Искусство программирования (Том 3, 2-е издание)* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA Википедия {{---1}} двоичный поиск]* [http://habrahabr.ru/post/146228/ Типичные ошибки при написании бинарного поиска]* [http://algolist.manual.ru/search/advbin.php Бинарный поиск на algolist] == Примечания ==<references/>

В случае правостороннего поиска изменится знак сравнения при сужении границ на (a[m[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] <= k), также при выводе найденного индекса, мы сравниваем искомый элемент k с a[[lКатегория: Алгоритмы поиска]].