Изменения
Новая страница: «== Факторгруппа == Рассмотрим группу <tex>G</tex> и ее нормальную подгруппу <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex>…»
== Факторгруппа ==
Рассмотрим группу <tex>G</tex> и ее нормальную подгруппу <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> - множество смежных классов <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.
<tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>
Таким образом, фактормножество <tex>G/H</tex> образует подгруппу, которая называется '''факторгруппой''' <tex>G</tex> по <tex>H</tex> . Нейтральным элементом является <tex>H</tex>, обратным к <tex>aH</tex> - <tex>a^{-1}H</tex>.
[[Категория: Теория групп]]
Рассмотрим группу <tex>G</tex> и ее нормальную подгруппу <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> - множество смежных классов <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.
<tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>
Таким образом, фактормножество <tex>G/H</tex> образует подгруппу, которая называется '''факторгруппой''' <tex>G</tex> по <tex>H</tex> . Нейтральным элементом является <tex>H</tex>, обратным к <tex>aH</tex> - <tex>a^{-1}H</tex>.
[[Категория: Теория групп]]
