211
правок
Изменения
м
Запросим Если <tex>d=0</tex> или <tex>m=0</tex>, то ''Verifier'' может проверить указанное выше условие сам и вернуть соответствующий результат.Иначе запросим у ''Prover'''а такое простое число <tex>p</tex>, что <tex>max(2^m+1, 3dm) \le p \le 2 \cdot max6dm</tex> (2^m+1, 3dm)такое <tex>p</tex>существует в силу [http://ru.wikipedia.org/wiki/Постулат_Бертрана постулата Бертрана]).
Нет описания правки
'''Шаг 0'''
Проверим <tex>p</tex> на простоту и на принадлежность заданному промежутку. Как мы [[Класс P#Примеры задач и языков из P|знаем]], <tex>Primes \in \mathrm{P}</tex>, следовательно на эти операции у ''Verifier'''а уйдёт полиномиальное от размера входа время.
Заметим, что размер формулы <tex>A_0(x_1)</tex> будет полином от длины входа ''Verifier'' 'а, так как <tex>A_0(x_1)</tex> полином от одной переменной степени не выше, чем <tex>d</tex>, а значит его можно представить в виде <tex>A_0(x) = \sum\limits_{i = 0}^{d} C_i \cdot x ^ i</tex>.
Проверим следующее утверждение: <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex> (*) (здесь и далее под словом «проверим» будем подразумевать следующее: если утверждение верно, ''Verifier'' продолжает свою работу, иначе он прекращает свою работу и возвращет '''false''').
'''Шаг i'''
Попросим ''Prover'' 'а прислать ''Verifier'' 'у формулу <tex>A_i(x_{i+1}) = \sum\limits_{x_{i+2} = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(r_1,\ldots, r_i, x_{i+1}, ..., x_m)</tex>.
Проверим следующее утверждение: <tex>A_i(0) + A_i(1) = A_{i-1}(r_i)</tex>(*).
'''Шаг m'''
Попросим программу ''Prover'' прислать ''Verifier'' 'у значение <tex>A_m()= A(r_1, r_2, ..., r_m)</tex>.
Проверим следующее утверждение: <tex>A_m() = A_{m-1}(r_m)</tex>(*).
А также сами подставим <tex>r_1, r_2, ..., r_m</tex> в <tex>A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> и проверим правильность присланного значения <tex>A_m()</tex>.
Возвращаем '''true'''.
Докажем теперь, что построенный таким образом ''Verifier'' — корректный. Таким образом, Для этого нужно доказатьследующие утверждения:
# Построенный ''Verifier'' - вероятностная машина Тьюринга, совершающая не более полинома от длины входа действий.
# <tex>\langle \varphi, k \rangle \in \#SAT \Rightarrow \exists Prover : P(Verifier^{Prover}(\langle \varphi, k \rangle)) \ge 2/3</tex>.
#Первый факт следует из построения ''Verifier'' 'а.
#По [[Арифметизация булевых формул с кванторами | лемме (2)]], если <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k</tex>, то условия (*) выполнятются, следовательно существует такой ''Prover'', что <tex>P(Verifier^{Prover}(\langle\phi,k\rangle)) = 1</tex>, для любой пары <tex>\langle\phi,k\rangle \in \#SAT</tex>.
#Пусть количество наборов, удовлетворяющих <tex>\phi</tex>, не равно <tex>k</tex>. Для того, что бы ''Verifier'' вернул '''true''', ''Prover'' 'у необходимо посылать такие <tex>A_i</tex>, чтобы выполнялись все проверяемые условия. Посмотрим на то, что он может послать:
:'''Шаг 0'''
:Так как количество наборов, удовлетворяющих <tex>\phi</tex>, не равно <tex>k</tex>, то ''Prover'' не может послать правильное <tex>A_0</tex> – не выполнится условие <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex>. Поэтому он посылает не <tex>A_0</tex>, а некое <tex>\tilde{A}_0</tex>.
:Из описанного процесса видно, что с вероятностью большей либо равной <tex>(1 - \frac d p) ^ m</tex> мы дойдем до последнего шага и будем имееть <tex>\tilde{A}_n</tex> вместо <tex>A_n</tex>. Так как на шаге <tex>m</tex> ''Verifier'' вычисляет <tex>A_n</tex> и проверяет значение, то ''Verifier'' вернет ''false''.
:Оценим вероятность возврата ''Verifier'' 'ом ответа '''false'''.
:<tex>P(!Verifier^{Prover}(\langle \varphi, k \rangle)) \ge (1 - \frac d p) ^ m \ge (1 - \frac d {3dm})^m = (1 - \frac 1 {3m})^m = 1 - \frac 1 3 + \frac{m(m - 1)}{2 (3m)^2} - \frac{m(m-1)(m-2)}{6 (3m)^3} + \ldots \ge \frac 2 3</tex>.
Таким образом, построенный нами ''Verifier'' корректен, а значит лемма доказана.
