Изменения

# Элементы <tex>\lor</tex> и <tex>\land</tex> чередуются. Значит, схему можно разбить на уровни так, что на каждом уровне все элементы будут одинаковыми.

# Нижний уровень схемы состоит из <tex>\land</tex> элементов с единичной степенью входа.

Построим итеративный процесс, на каждом шаге которого можно с высокой вероятностью уменьшить глубину схемы на <tex>1</tex>, сохранив при этом число входов. Пусть <tex>n~-</tex> длина входной цепочки, а <tex>d~-</tex> глубина схемы. Выберем минимальное целое <tex>b</tex> так, чтобы <tex>n^b</tex> было не меньше, чем число элементов в схеме. На каждом шаге случайным образом будем назначать все большее число переменных. Обозначим <tex>n_i~-</tex> число неназначенных переменных на <tex>i</tex>-ом шаге. Тогда на <tex>i + 1</tex>-ом шаге число назначенных переменных будет <tex>n_i - \sqrt{n_i}</tex>. Возьмем <tex>k_i=10b\cdot2^i.</tex>

Покажем, что после <tex>i+1</tex>-ого шага глубина схемы будет <tex>d - i</tex>, причем наибольшая степень входа элемента на нижнем уровне будет <tex>k_i</tex>. В самом деле, пусть нижний уровень схемы состоит из <tex>\land</tex> элементов, тогда уровень выше <tex>-</tex> из элементов <tex>\lor</tex>. Каждый <tex>\lor</tex> элемент можно считать <tex>k_i</tex>-ДНФ. Отсюда по лемме получаем, что с вероятностью <tex>1-\left(\frac{k_i^{10}}{n^{1/2^{i+1}}}\right) ^ {k_{i+1}/2}</tex> функцию можно записать в виде <tex>k_{i+1}</tex>-КНФ. При достаточно больших <tex>n</tex> это можно сделать с вероятность хотя бы <tex>1-\frac{1}{10n^b}</tex>. Поскольку верхний уровень КНФ состоит из <tex>\land</tex> элементов, также как и уровень над КНФ, то их можно объединить, уменьшив при этом глубину схемы на <tex>1</tex>. Аналогично рассматриваем случай, когда нижний уровень схемы состоит из <tex>\lor</tex> элементов.