Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим остатки от деления на <tex>~|c|</tex> чисел <tex> a_n, b_n</tex>. Количество остатков конечно, а пар бесконечно, поэтому существуют две различные пары <tex> (a_1, b_1),(a_2,b_2)</tex> такие, что <tex>a_1^2-db_1^2=c=a_2^2-вb_2^2</tex> и <tex> a_1\equiv a_2(mod~|c|)</tex>, <tex>b_1\equiv b_2(mod~|c|)</tex>.
<tex>\frac{a_2+b_2\sqrt{d}}{a_1+b_1\sqrt{d}}=\frac{(a_1-b_1\sqrt{d})(a_2+b_2\sqrt{d})}{a_1^2-db_1^2}=\frac{(a_1a_2-db_1b_2)+(a_1b_2-a_2b_1)\sqrt{d}}{c}</tex>. <tex>\frac{a_2-b_2\sqrt{d}}{a_1-b_1\sqrt{d}}=\frac{(a_1+b_1\sqrt{d})(a_2-b_2\sqrt{d})}{a_1^2-db_1^2}=\frac{(a_1a_2-db_1b_2)-(a_1b_2-a_2b_1)\sqrt{d}}{c}</tex>. Поскольку <tex>a_1a_2-db_1b_2\equiv a_1^2-b_1^2d\equiv c\equiv 0(mod~|c|)</tex> и <tex>a_1b_2-a_2b_1\equiv a_1b_1-a_1b_1 \equiv 0(mod~|c|)</tex>, то числа <tex> x = \frac{a_1a_2-b_1b_2d}{c}</tex> и <tex>y = \frac{a_1b_2-a_2b_1}{c}</tex> целые. <tex>x^2-dy^2=(x-y\sqrt{d})(x+y\sqrt{d}) = \frac{a_2-b_2\sqrt{d}}{a_1-b_1\sqrt{d}}\frac{a_2+b_2\sqrt{d}}{a_1+b_1\sqrt{d}} = \frac{a_2^2-db_2^2}{a_1^2-db_1^2}=\frac{c}{c}=1</tex>. Поэтому <tex>(x, y) </tex> - искомое нетривиальное решение уравнения Пелля.
}}
