Изменения

== Алгоритм за <tex>O(N \log^2(N))</tex> (, использующий префиксы циклических сдвигов) ==

Этот алгоритм сильно отличается от двух предыдущих и от него несложно перейти к алгоритму за <tex>O(N n \log(Nn))</tex>. Итак, основная идея: на каждом шаге будем сортировать префиксы циклических сдвигов длины <tex>1,2,4,..., 2^{\lceil \log_2(n)\rceil}</tex>. Еще одно важное дополнение: после каждой фазы каждому префиксу циклического сдвига <tex>s[i..i-1]</tex> будет присваиваться номер класса эквивалентности <tex>c[i]</tex> среди этих префиксов. Причем классы эквивалентности должны быть пронумерованы в лексикографическом порядке соответствующих представителей.

Сначала легко можно отсортировать за <tex>O(N n \log(Nn))</tex> префиксы длины <tex>1</tex>, то есть символы. А номера классов поставить в соответствии с порядковым номером символа в алфавите.

Рассмотрим теперь переход от префиксов длины <tex>l</tex> к префиксам длины <tex>2l</tex>. Научимся сравнивать два префикса длины <tex>2l</tex> за <tex>O(1)</tex>: Пусть даны префиксы <tex>s[i..i+2l-1]</tex>, <tex>s[j..j+2l-1]</tex>, сравним сначала их левые половинки, использовав значения <tex>c[i], c[j]</tex> с предыдущего шага, если <tex>c[i]\neq c[j]</tex>, то префиксы соотносятся так как же, как <tex>c[i]</tex> и <tex> c[j]</tex>, если <tex>c[i]=c[j]</tex>, то переходим к сравнению <tex>c[i+l]</tex> и <tex> c[j+l]</tex>. Итак, отсортировать префиксы длины <tex>2l</tex> можно за <tex>O(Nn\log(Nn))</tex>. Вычислить новые <tex>c[i]</tex> можно просто пробежавшись в лексикографическом порядке по префиксам, и увеличивая номер соответствующего класса на <tex>1</tex>, если текущий префикс не совпадает с предыдущим (сравнивать с помощью старых <tex>c[i], c[i+l]</tex>).

После шага <tex>l =2^{\lceil \log_2(n)\rceil} \ge Nn</tex> все циклические сдвиги будут отсортированы. Всего шагов <tex>O(\log(Nn))</tex>, каждый шаг проводится за <tex>O(N n \log(Nn))</tex>, итоговая асимптотика <tex>O(N n \log^2(Nn))</tex>.