Изменения

|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций , суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>. То есть

То есть,<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.

|definition = Систему функций <tex> 1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos nx,\ \sin nx, ... \ldots (n = 1, 2 ...\ldots)</tex> называют '''тригонометрической системой функций'''.

Каждая из этих функций ограниченная, <tex> 2\pi </tex>-периодическая, следовательно , все функции принадлежат <tex>L_p</tex>.

Заметим, что , из-за <tex> 2\pi </tex>-периодичности, <tex> \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 </tex>.

{{TODO Утверждение| t statement= проверить следующий абзац}}Также при При <tex> n \ne m </tex> : <tex> \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0</tex>,<tex> \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi </tex>.|proof=Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как <tex> \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) </tex>.}}

|definition = '''Тригонометрический рядТригонометрическим рядом'''называется ряд: <tex>\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>. Если , начиная с какого-то места , <tex> c_n = d_n = 0 </tex> {{---}} , то соответствующая сумма называется '''тригонометрический полиномтригонометрическим полиномом'''.

</tex>.