286
правок
Изменения
Нет описания правки
'''Сплей-дерево ''' (англ. ''Splay-tree)''' {{---}} ) — это [[Дерево поиска, наивная реализация | двоичное дерево поиска]]. Оно позволяет находить быстрее те данные, которые использовались недавно. Относится к разряду сливаемых деревьев. Сплей-дерево было придумано Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в <tex>1983 </tex> году.
==Эвристики==
Для того, чтобы доступ к недавно найденным данным был быстрее, надо, чтобы эти данные находились ближе к корню. Этого мы можем добиться, используя различные эвристики:
* '''Move to Root''' {{---}} совершает повороты вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, где <tex>x</tex> - — найденная вершина, <tex>p</tex> - — ее предок, пока <tex>x</tex> не окажется корнем дерева. Однако можно построить такую последовательность операций, что амортизированное время доступа к вершине будет <tex> O\Omega(n) </tex>.
* '''Splay''' {{---}} также совершает повороты, но чередует различные виды поворотов, благодаря чему достигается логарифмическая амортизированная оценка. Она будет подробно описана ниже.
'''Пример''': При последовательном использовании операций "move to root" для вершин <tex>A</tex> и <tex>B</tex> требуется по <tex>6</tex> поворотов, в то время как при использовании операции "splay" для вершины <tex>B</tex> достаточно <tex>3</tex> поворотов.
[[file:Move_to_root.png|750px]]
[[file:Splay.png|750px]]
==Операции со splay-деревом==
===Splaysplay(Treetree, x)==="Splaysplay" делится на <tex>3 </tex> случая:====Zigzig====Если <tex>p</tex> - — корень дерева с сыном <tex>x</tex>, то совершаем один поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, делая <tex>x</tex> корнем дерева. Данный случай является крайним и выполняется только один раз в конце, если изначальная глубина <tex>x</tex> была нечетной.
[[file:Зиг.png|1000px800px|Zig - zig — поворот]]====Zigzig-Zigzig====Если <tex>p</tex> - — не корень дерева, а <tex>x</tex> и <tex>p</tex> - — оба левые или оба правые дети, то делаем поворот ребра <tex>(p, g)</tex>, где <tex>g</tex> отец <tex>p</tex>, а затем поворот ребра <tex>(x, p)</tex>.
[[file:ZigZigSplayЗиг_зиг.gifpng|500px800px|Zigzig-zig - — поворот]]====Zigzig-Zagzag====Если <tex>p</tex> - — не корень дерева и <tex>x</tex> - — левый ребенок, а <tex>p</tex> - — правый, или наоборот, то делаем поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, а затем поворот нового ребра <tex>(x, g)</tex>, где <tex>g</tex> - — бывший родитель <tex>p</tex>.
[[file:ZigZagSplayЗиг_заг2.gifpng|500px900px|Zigzig-zag - — поворот]]
Данная операция занимает <tex>O(d)</tex> времени, где <tex>d</tex> - — длина пути от <tex>x</tex> до корня. В результате этой операции <tex>x</tex> становится корнем дерева, а расстояние до корня от каждой вершины сокращается примерно пополам, что связано с разделением случаев "zig-zig" и "zig-zag".
===Findfind(Treetree, x)===Эта операция выполняется как для обычного [[Дерево поиска, наивная реализация|бинарного дерева]], только после нее запускается операция Splaysplay.
===Mergemerge(Tree1tree1, Tree2tree2)===У нас есть два дерева <tex>Tree1\mathtt{tree1}</tex> и <tex>Tree2\mathtt{tree2}</tex>, причём подразумевается, что все элементы первого дерева меньше элементов второго. Запускаем Splay splay от самого большого элемента в дереве <tex>Tree1\mathtt{tree1}</tex> (пусть это элемент <tex>i</tex>). После этого корень <tex>Tree1\mathtt{tree1}</tex> содержит элемент <tex>i</tex>, при этом у него нет правого ребёнка. Делаем <tex>Tree2\mathtt{tree2}</tex> правым поддеревом <tex>i</tex> и возвращаем полученное дерево.
===Splitsplit(Treetree, x)===Запускаем Splay splay от элемента <tex>x</tex> и возвращаем два дерева, полученные отсечением правого или левого поддерева от корня, в зависимости от того, содержит корень элемент больше или не больше, чем <tex>x</tex>.
===Addadd(Treetree, x)===Запускаем Splitsplit(Treetree, x), который нам возвращает деревья <tex>Tree1\mathtt{tree1}</tex> и <tex>Tree2\mathtt{tree2}</tex>, их подвешиваем к <tex>x</tex> как левое и правое поддеревья соответственно.
===Removeremove(Treetree, x)=== Запускаем Splay splay от <tex>x</tex> элемента и возвращаем Merge от его детей.
==Анализ операции splay==
[[Амортизационный анализ | Амортизационный анализ]] сплей-дерева проводится с помощью метода потенциалов. Потенциалом рассматриваемого дерева назовём сумму рангов его вершин. Ранг вершины <tex>x</tex> — это величина, обозначаемая <tex>r(x)</tex> и равная <tex>\log_2 C(x)</tex>, где <tex>C(x)</tex> — количество вершин в поддереве с корнем в <tex>x</tex>.
{{Лемма
|id = Lemma1
|statement=
Амортизированное время операции splay вершины <tex>x</tex> в дереве с корнем <tex>t</tex> не превосходит <tex>3r(t) - 3r(x) + 1</tex>
Разберём случаи в зависимости от типа шага:
'''Zigzig'''. Поскольку выполнен один поворот, то время амортизированное время выполнения шага <tex>T = 1 + r'(x) + r'(p) - r(x) - r(p)</tex> (поскольку только у вершин <tex>x</tex> и <tex>p</tex> меняется ранг). Ранг вершины <tex>p</tex> уменьшился, поэтому <tex>T \le leqslant 1 + r'(x) - r(x)</tex>. Ранг вершины <tex>x</tex> увеличился, поэтому <tex>r'(x) - r(x) \ge geqslant 0</tex>. Следовательно, <tex>T \le leqslant 1 + 3r'(x) - 3r(x)</tex>. '''zig-zig'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(p) - r(x) - r(g)</tex>. Поскольку после поворотов поддерево с корнем в <tex>x</tex> будет содержать все вершины, которые были в поддереве с корнем в <tex>g</tex> (и только их), поэтому <tex>r'(x) = r(g)</tex>. Используя это равенство, получаем: <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) \leqslant 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>, поскольку <tex>r(x) \leqslant r(p)</tex>. Далее, так как <tex>r'(p) \leqslant r'(x)</tex>, получаем, что <tex>T \leqslant 2 + r'(x) + r'(g) - 2r(x)</tex>. Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>3(r'(x) - r(x))</tex>, то есть, что <tex>r(x) + r'(g) - 2r'(x) \leqslant -2</tex>. Преобразуем полученное выражение следующим образом: <tex>(r(x) - r'(x)) + (r'(g) - r'(x)) = \log_2 \dfrac {C(x)}{C'(x)} + \log_2 \dfrac {C'(g)}{C'(x)}</tex>. Из рисунка видно, что <tex>C'(g) + C(x) \leqslant C'(x)</tex>, значит, сумма выражений под логарифмами не превосходит единицы. Далее, рассмотрим сумму логарифмов <tex>\log_2 a + \log_2 b = \log_2 ab</tex>. При <tex>a + b \leqslant 1</tex> произведение <tex>ab</tex> по неравенству между средними не превышает <tex>\dfrac{1}{4}</tex>. А поскольку логарифм — функция возрастающая, то <tex>\log_2 ab \leqslant -2</tex>, что и является требуемым неравенством. '''zig-zag'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) - r(g)</tex>. Поскольку <tex>r'(x) = r(g)</tex>, то <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p)</tex>. Далее, так как <tex>r(x) \leqslant r(p)</tex>, то <tex>T \leqslant 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>. Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>2(r'(x) - r(x))</tex>, то есть, что <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) \leqslant -2</tex>. Но, поскольку <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) = \log_2 \dfrac {C'(p)}{C'(x)} + \log_2 \dfrac {C'(g)}{C'(x)} \leqslant -2</tex> - аналогично доказанному ранее, что и требовалось доказать. Итого, получаем, что амортизированное время шага zig-zag не превосходит <tex>2(r'(x) - r(x)) \leqslant 3(r'(x) - r(x))</tex>. Поскольку за время выполнения операции splay выполняется не более одного шага типа zig, то суммарное время не будет превосходить <tex>3r(t) - 3r(x) + 1</tex>, поскольку утроенные ранги промежуточных вершин сокращаются (входят в сумму как с плюсом, так и с минусом). Тогда суммарное время работы splay <tex>T_{splay} \leqslant 3\log_2 N - 3\log_2 C(x) + 1 = O(\log_2 N)</tex>, где <tex>N</tex> — число элементов в дереве.}} == Статическая оптимальность сплей-дерева =={{Теорема|statement=Если к ключам <tex>1 \ldots n</tex>, сложенным в сплей-дерево выполняется <tex>m</tex> запросов, к <tex>i</tex>-му ключу осуществляется <tex>k_i</tex> запросов, где <tex>k_i > 0</tex>, то суммарное время работы не превышает <tex>O(m \cdot H(p_1, p_2, \ldots , p_n))</tex>, где <tex>p_i = k_i / m</tex>, <tex>H</tex> — шенноновская энтропия|proof=Известно, что <tex>H(p_1, p_2, \ldots , p_n) = -c \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^n (p_i \cdot \log_{2}p_i)</tex> {{---}} [[Энтропия_случайного_источника | шенноновская энтропия]]. Пусть <tex>s(x) = \displaystyle \sum_{y} w(y)</tex> {{---}} количество вершин в поддереве с корнем в <tex>x</tex>. А <tex>r(x) = \log_{2} s(x)</tex> {{---}} ранг вершины. Обозначим за <tex>r</tex> корень <tex>splay</tex>-дерева.Из предыдущей теоремы известно, что <tex>a_{splay} \leqslant 1+3(r(r)-r(x))</tex> Пусть <tex dpi="130">w(x_i) = p_i =</tex> <tex dpi="180"> {k_i \over m}</tex>, тогда <tex dpi="130">k_i = p_i \cdot m</tex>.<br><tex>m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n k_ir(x_i) \leqslant m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i+1}^n k_i\log_{2}w(x_i) =</tex> <tex> m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n (p_i\cdot m\cdot \log_{2}p_i) = m(1+3r(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\log_{2}p_i) = (*)</tex>Так как вершина <tex>r</tex> {{---}} корень <tex>splay</tex>-дерева, то очевидно, что <tex>s = \displaystyle \sum_{y} w(y) = 1</tex>, следовательно <tex>r(r) = \log_{2}s(r)=0</tex>. Поэтому <tex>(*) = m(1+H(p_1,\ldots ,p_n)) = O(mH(p_1,\ldots ,p_n))</tex>, ч.т.д.}} ==Теорема о близких запросах в сплей-дереве== {{Теорема |about = о близких запросах в сплей-дереве|statement = Пусть в сплей-дерево сложены ключи <tex> 1, \dotsc, n </tex>. Зафиксируем один из ключей <tex> f </tex>. Пусть выполняется <tex> m </tex> запросов к ключам. Тогда суммарное время на запросы есть <tex> \displaystyle O(n \log_{2} n + m + \sum_{i=1}^{m} \log_2 ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1)) </tex>, где <tex> q_{i} </tex> {{---}} значение в вершине, к которой обращаются в <tex> i </tex>-ый запрос. |proof = Для доказательства теоремы воспользуемся методом потенциалов: <tex> a_{i} = t_{i} + \Phi_{i} - \Phi_{i-1} </tex>. По условию выполняется <tex> m </tex> запросов, следовательно
}}
Данная теорема показывает, что сплей-деревья поддерживают достаточно эффективный доступ к ключам, которые находятся близко к какому-то фиксированному ключу.
==Splay-деревья по неявному ключу==
Splay-дерево по неявному ключу полностью аналогично [[Декартово дерево по неявному ключу|декартову дереву по неявному ключу]], неявным ключом также будет количество элементов дерева, меньших данного. Аналогично, будем хранить вспомогательную величину <tex>C(x)</tex> — количество вершин в поддереве. К операциям, которые уже были представлены в декартовом дереве, добавляется splay, но пересчет <tex>C(x)</tex> в ней тривиален, так как мы точно знаем, куда перемещаются изменяемые поддеревья.
==ЛитератураСм. также ==* [[2-3 дерево]]* [[B-дерево]]* [[B+-дерево]]* [[АВЛ-дерево]]* [[Красно-черное дерево]]
==Источники информации==*[http[wikipedia://en.wikipedia.org/wiki/Splay_tree :Splay_Tree|Википедия {{--- }} Splay tree]]
*[http://www.cs.cmu.edu/~sleator/papers/self-adjusting.pdf Sleator, Daniel D.; Tarjan, Robert E."Self-Adjusting Binary Search Trees"]