Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>\alpha</tex> приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь периодична.
|proof=
Число <tex>\alpha</tex> представимо в виде <tex>\frac{a+\sqrt{D}}{c}, a,c,D \in \mathbb{Z}</tex> и <tex>a^2-D\vdots c</tex>. Назовём это видом Х.
Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-q}, q=[\alpha]</tex>. Заметим, что <tex>\alpha_1>1</tex>. Преобразуем: <tex>\alpha_1=\frac{c}{a+\sqrt{D}-qc}=\frac{c(a-qc-\sqrt{D})}{(a-qc)^2-D}</tex>. Заметим, что <tex>(a-qc)^2-D\vdots c</tex>, значит <tex>\alpha_1</tex> представима в виде Х. Докажем, что <tex>\alpha_1</tex> приведённая. <tex>\overline{\alpha_1}=\frac{1}{\overline{\alpha}-[\alpha]}</tex>. Но <tex>\overline{\alpha}\in (-1;0), [\alpha]>1</tex>, значит <tex>\overline{\alpha_1}\in(-1;0)</tex>.
