689
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Отсюда, если <tex>x_n \to x</tex>, то <tex>E_y(x_n) \to E_y(x)</tex>, то есть, <tex> E </tex> непрерывно как функционал в норме <tex> X </tex>.
Основной интерес представляют покрытия <tex> X </tex> элементами конечномерных подпространств. Пусть <tex>\dim Y < +\infty</tex>, <tex>Y=\Lambda(e_1,..,e_p)</tex> (<tex> \Lambda </tex> - линейная оболочка множества), тогда <tex>\dim Y = p</tex>.
К примеру, <tex>\dim H_n = 2n+1</tex>, <tex>H_n = \Lambda(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})</tex>.
Обозначим <tex>m = \inf\limits_{\|\beta\|=1}\|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k\|</tex>.
Нижняя грань берется по единичной сфере в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>), по непрерывной функции, значит, по теореме Вейерштрасса, найдется <tex>\beta^*</tex> такая, что <tex>\|\beta^*\|=1</tex>.
Если предположить, что <tex>m = 0</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta^*_k e_k = 0</tex>, так как <tex>e_k</tex> {{---}} независимы, то <tex>\beta^*=0</tex>, следовательно, <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta^*_k=0</tex>, но этого быть не может, так как <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta^*_k=1</tex> по сказанному выше. Значит, <tex>m>0</tex>.
Тогда <tex>\|\overline{\alpha}\| \le \frac{M+\|x\|}{m}</tex>, <tex>T</tex> ограниченно, <tex>T</tex> {{---}} компакт, теорема доказана.
