Изменения

<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex><tex>\le \frac\pi2 pi4 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>

(<tex>\PhiPhi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy </tex> {{---}} первообразная; проинтегрируем по частям)

<tex>= \frac\pi2 pi4 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>.

Первое слагаемое.(<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>): <tex>\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) \to 0</tex> - число, <tex> h_n \to 0</tex>;

Второе слагаемое: {{TODO|t=очень сумбурно написано, переписать на что-то более читабельное или передоказать}} 

Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{=}{h_n < \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>

Важный момент. Если Заметим, что если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex>, то теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>., то есть,

В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel[{n \to \infty]}{\rightrightarrows} f</tex> на <tex> \mathbb{R}}{\rightrightarrows} f</tex>.

Установим теперь теорему Фейера в <tex>L_p</tex>. {{Утверждение|statement=<tex>f \in L_p \Rightarrow \| \sigma_n(f)\|_p \le \|f\|_p </tex>|proof=Так как <tex> \sigma_n(f) \in H_n </tex>, то <tex> \sigma_n(f) \in L_p </tex>. <tex> \| \sigma_n(f)\|^p_p = \int\limits_{Q} |\sigma_n(f)|^pdx, \sigma_n(f, x) = \int\limits_{Q} f(x+t) \Phi_n(t) dt </tex>. <tex> |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = </tex> (возьмем <tex> q:\ \frac1p + \frac1q = 1 </tex>) <tex>= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex>. Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>. <tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (воспользуемся теоремой Фубини) <tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>. Возводя неравенство в степень <tex> \frac1p </tex>, получаем требуемое.

{{TODOТеорема|tauthor=тут чтоФейер|statement=<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f -то явно не так, глобально}\sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{}0</tex>.|proof=

Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена, то есть, для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на <tex> \mathbb{{ТеоремаR}</tex>:|author=Вейерштрасс|statement=<tex>f \in L_p C \Rightarrow E_n\sigma_n(f)_p \stackrel{[\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f,\ n\to\infty]}{\to} 0</tex>.|proof={{TODO|t=запилить!}}}}Рассмотрим произвольную функцию <tex> g \in L_p </tex>.

{{теорема[[Пространство L_p(E)|statement=Ранее]] нами уже было доказано, что пространство <tex>C</tex> {{---}] всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall fg\in L_p\exists g\varphi \in C : \|f g - g\varphi\|<\varepsilon</tex>|proof=Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена:Суммы Фейера сходятся равномерно на <tex>\mathbb{R}</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>f\in C</tex><tex>\delta_n(f) \stackrel[n\to\infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} s</tex>.

<tex>\forall |\sigma_n(g) - g \in L_p : |_p = \|(\delta_nsigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g- \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p\leq</tex>

По только что доказанной теореме, <tex>\forallleq \varepsilon>0|\existssigma_n(g-\varphi)\in C : |_p + \|g-\varphi\|<_p [\leq \varepsilon] + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p </tex>.

По доказанному только что утверждению, <tex>\|\sigma_n(g-\varphi) - g\|_p = \leq \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq\varepsilon </tex>; второе слагаемое не превосходит <tex>\|\sigma_n(g-\varphi)\|_p [\leq\|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon] + \|g - \varphi\|_p [\leq \varepsilon] + \|\sigma_n(\varphi) - </tex> по выбору <tex> \varphi\|_p \leq</tex>.

<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p \leq = \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>.

<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p</tex>

<tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex> <tex>\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p</tex> <tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>,  <tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>

Но Так как в <tex>C</tex> верна теорема Фейера: , то <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex> <tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \varepsilon</tex>

По Значит, <tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2 + (2\pi)^{1/p}) \varepsilon</tex>, и теорема верна по определению предела, теорема доказана.