Изменения

Как и ранее, для обновления элемента в дереве нужно изменить все, что хранит результат операции с этим элементом. Но теперь нельзя просто применить операцию <tex> G </tex> (далее будем использовать мультипликативную нотацию) ко всем нужным элементам дерева. Пусть мы хотим изменить <tex> a_i </tex> на <tex> a_i' = a_i \cdot d </tex>, в данный момент обновляем элемент дерева с индексом <tex> j </tex>. Вместо <tex> a_{j \& (j + 1)} \cdot \ldots a_i'\cdot d \cdot \cdot \ldots \cdot a_j </tex> мы получим <tex> a_{j \& (j + 1)} \cdot \ldots a_i \cdot \ldots \cdot a_j \cdot d </tex> (так как больше нельзя переставлять элементы местами в операции на отрезке, ответ будет неверен).

<tex> t_2' = t_2 \cdot s_{2, 2}^{-1} \cdot d \cdot s_{2, 2} = t_2 \cdot t_2(s_2^{-1} \cdot s_2)^{-1} \cdot d \cdot (t_2^{-1} \cdot t_2 ) = t_2 \cdot d = a_2' </tex>

После этого дерево выглядит так: <tex> \begin{array}{c||c||c||c||c} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\\hlinet_0 = a_0 & t_1 = a_0 \cdot a_1 & t_2 = a_2' & t_3 = a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 & t_4 = a_4 \\\end{array} </tex> <tex> t_3' = t_3 \cdot s_{2, 3}^{-1} \cdot d \cdot s_{2, 3} = t_3 \cdot (t_2s_2' ^{-1} \cdot t_3s_3)^{-1} \cdot d \cdot t_2s_2' ^{-1} \cdot s_3 = t_3 \cdot s_3^{-1} \cdot s_2' \cdot d \cdot s_2'^{-1} \cdot s_3 = \\ = t_3 \cdot t_3(a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3)^{-1} \cdot (t_2a_0 \cdot a_1 \cdot a_2') \cdot d \cdot (a_0 \cdot a_1 \cdot a_2')^{-1} \cdot d (a_0 \cdot a_1 \cdot t_2' a_2 \cdot t_3 a_3) = \\ = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} </tex>