277
правок
Изменения
Нет описания правки
'''Сортировка подсчётом''' {{---}} алгоритм сортировки целых чисел в диапазоне от <tex>0</tex> до некоторой константы <tex>k</tex>или сложных объектов, работающий за линейное время.== Сортировка целочисленных значение ===== Простой алгоритм ===
Это простейший вариант алгоритма. Создать вспомогательный массив <tex>C[0..k - 1]</tex>, состоящий из нулей, затем последовательно прочитать элементы входного массива <tex>A</tex> и для каждого <tex>A[i]</tex> увеличить <tex>C[A[i]]</tex> на единицу. Теперь достаточно пройти по массиву <tex>C</tex> и для каждого <tex>number \in \{0, ..., k - 1\}</tex> в массив <tex>A</tex> последовательно записать число <tex>number\</tex> <tex> C[number]</tex> раз.
<code>
</code>
=== Устойчивый алгоритм ===
==== Идея ====
</code>
=== Обобщение на произвольный целочисленный диапазон ===
Если диапазон значений (минимимум и максимум) заранее не известен, можно найти их с помощью линейного поиска, что не повлияет на асимптотику алгоритма. При работе с массивом <tex>C</tex> из <tex>A[i]</tex> необходимо вычитать минимум, а при обратной записи прибавлять.
=== Анализ ===
В первом алгоритме первые два цикла работают за <tex>\Theta(k)</tex> и <tex>\Theta(n)</tex>, соответственно; двойной цикл за <tex>\Theta(n + k)</tex>. Во втором алгоритме циклы занимают <tex>\Theta(k)</tex>, <tex>\Theta(n)</tex>, <tex>\Theta(k)</tex> и <tex>\Theta(n)</tex>, соответственно. Итого оба алгоритма имеют линейную временную трудоёмкость <tex>\Theta(n + k)</tex>. Используемая память в первом алгоритме равна <tex>\Theta(k)</tex>, а во втором <tex>\Theta(n + k)</tex>.
Использование сортировки подсчётом целесообразно, когда диапазон возможных значений входных данных достаточно мал по сравнению с количеством элементов в сортируемом множестве, например, если <tex>n = 1000000</tex> и все элементы натуральные числа меньшие <tex>1000</tex>, то время работы алгоритма равно <tex>\Theta(n)</tex>. Эффективность алгоритма падает, когда необходимо сортировать различные элементы, попавшие в одну ячейку.
== Сортировка сложных объектов ==
=== Постановка задачи ===
Иногда бывает очень желательно применить быстрый алгоритм [[Сортировка подсчетом|сортировки подсчетом]] для упорядочивания набора каких-либо "сложных" данных. Под "сложными объектами" здесь подразумеваются структуры, содержащие в себе несколько полей. Одно из них мы выделим и назовем ключом, сортировка будет идти именно по нему (предполагается, что значения, принимаемые ключом {{---}} целые числа в диапазоне от <tex>0</tex> до <tex>k-1</tex>).
Мы не сможем использовать здесь в точности тот же алгоритм, что и для сортировки подсчетом обычных целых чисел, потому что в наборе могут быть различные структуры, имеющие одинаковые ключи. Существует два способа справиться с этой проблемой {{---}} использовать списки для хранения структур в отсортированном массиве или заранее посчитать количество структур с одинаковыми ключами для каждого значения ключа.
=== Подсчет числа различных ключей ===
==== Описание ====
Исходная последовательность из <tex>n</tex> структур хранится в массиве <tex>A</tex>, а отсортированная {{---}} в массиве <tex>B</tex> того же размера. Кроме того, используется вспомогательный массив <tex>P</tex> с индексами от <tex>0</tex> до <tex>k-1</tex>.
Идея алгоритма состоит в предварительном подсчете количества элементов с различными ключами в исходном массиве и разделении результирующего массива на части соответствующей длины (будем называть их блоками). Затем при повторном проходе исходного массива каждый его элемент копируется в специально отведенный его ключу блок, в первую свободную ячейку. Это осуществляется с помощью массива индексов <tex>P</tex>, в котором хранятся индексы начала блоков для различных ключей. <tex>P[key]</tex> {{---}} индекс в результирующем массиве, соответствующий первому элементу блока для ключа <tex>key</tex>.
* Пройдем по исходному массиву <tex>A</tex> и запишем в <tex>P[i]</tex> количество структур, ключ которых равен <tex>i</tex>.
[[Файл:Building_P.png]]
* Мысленно разобьем массив <tex>B</tex> на <tex>k</tex> блоков, длина каждого из которых равна соответственно <tex>P[1]</tex>, <tex>P[2]</tex>, ..., <tex>P[k]</tex>.
[[Файл:Splitting_B_w_colors.png]]
* Теперь массив <tex>P</tex> нам больше не нужен. Превратим его в массив, хранящий в <tex>P[i]</tex> сумму элементов от <tex>0</tex> до <tex>i-1</tex> старого массива <tex>P</tex>.
[[Файл:P_after_adding.png]]
* Теперь "сдвинем" массив <tex>P</tex> на элемент вперед: в новом массиве <tex>P[0] = 0</tex>, а для <tex>i > 0</tex> <tex>P[i] = P_{old}[i-1]</tex>, где <tex>P_{old}</tex> {{---}} старый массив <tex>P</tex>. <br> Это можно сделать за один проход по массиву <tex>P</tex>, причем одновременно с предыдущим шагом. <br> После этого действия в массиве <tex>P</tex> будут хранится индексы массива <tex>B</tex>. <tex>P[key]</tex> указывает на начало блока в <tex>B</tex>, соответствующего ключу <tex>key</tex>.
[[Файл:P_as_array_of_pointers.png]]
* Произведем саму сортировку. Еще раз пройдем по исходному массиву <tex>A</tex> и для всех <tex>i \in [0, n-1]</tex> будем помещать структуру <tex>A[i]</tex> в массив <tex>B</tex> на место <tex>P[A[i].key]</tex>, а затем увеличивать <tex>P[A[i].key]</tex> на <tex>1</tex>. Здесь <tex>A[i].key</tex> {{---}} это ключ структуры, находящейся в массиве <tex>A</tex> на <tex>i</tex>-том месте.
[[Файл:Sorting_A.png]]
Таким образом после завершения алгоритма в <tex>B</tex> будет содержаться исходная последовательность в отсортированном виде (так как блоки расположены по возрастанию соответствующих ключей).
Стоит также отметить, что эта сортировка является устойчивой, так как два элемента с одинаковыми ключами будут добавлены в том же порядке, в каком просматривались в исходном массиве <tex>A</tex>.
=== Псевдокод ===
Здесь <tex>A</tex> и <tex>B</tex> {{---}} массивы структур размера <tex>n</tex>, с индексами от <tex>0</tex> до <tex>n-1</tex>.
<tex>P</tex> {{---}} целочисленный массив размера <tex>k</tex>, с индексами от <tex>0</tex> до <tex>k-1</tex>, где <tex>k</tex> {{---}} количество различных ключей.
ComplexCountingSort
for i = 0 to k - 1
P[i] = 0;
for i = 0 to length[A] - 1
P[A[i].key] = P[A[i].key] + 1;
carry = 0;
for i = 0 to k - 1
temporary = P[i];
P[i] = carry;
carry = carry + temporary;
for i = 0 to length[A] - 1
B[P[A[i].key]] = A[i];
P[A[i].key] = P[A[i].key] + 1;
Здесь шаги 3 и 4 из описания объединены в один цикл.
Обратите внимание, что в последнем цикле инструкцией
B[P[A[i].key]] = A[i];
копируется структура <tex>A[i]</tex> целиком, а не только её ключ.
=== Анализ ===
Весь алгоритм состоит из двух проходов по массиву <tex>A</tex> размера <tex>n</tex> и одного прохода по массиву <tex>P</tex> размера <tex>k</tex>.
Его трудоемкость, таким образом, равна <tex> O(n + k)</tex>. На практике сортировку подсчетом имеет смысл применять, если <tex>k = O(n)</tex>, поэтому можно считать время работы алгоритма равным <tex> O(n)</tex>. <br>
Как и в обычной сортировке подсчетом, требуется <tex> O(n + k)</tex> дополнительной памяти {{---}} на хранение массива <tex>B</tex> размера <tex>n</tex> и массива <tex>P</tex> размера <tex>k</tex>.
== Источники ==
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Сортировка_подсчётом Сортировка подсчетом {{---}} Википедия]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Counting_sort Wikipedia {{---}} Counting sort]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]
